Kann das Tensorprodukt zweier Funktionenräume als Funktionenraum betrachtet werden?

Der Satz$V_N$von Funktionen$\mathbb{R}^{3N}\to (\mathbb{C}^4)^{\otimes N}$hat eine natürliche Struktur von komplexen Vektoren, die durch den Raum induziert werden

$$(a\psi + b\phi)(\vec{x}) := a \psi(\vec{x})+ b\phi(\vec{x}) \quad \mbox{for every $\vec{x} \in \mathbb{R}^{3N}$}$$ Wo $a,b \in \mathbb C$Und $\psi,\phi$sind Karten $\mathbb{R}^{3N}\to (\mathbb{C}^4)^{\otimes N}$. Dies gilt insbesondere für $V_1$. Deshalb $V_1\otimes \cdots \mbox{($N$-times)}\cdots\otimes V_1$ist ein wohldefinierter komplexer Vektorraum. Es ist leicht zu beweisen, dass die Karte $$f: V_1\times \cdots \mbox{($N$-times)}\cdots \times V_1 \ni (\psi_1, \ldots, \psi_N) \to \Psi \in V_{N}$$ so dass $$\Psi(\vec{x}, \ldots, \vec{x}_n) := \psi_1(\vec{x}_1) \otimes \cdots \otimes \psi_1(\vec{x}_N) \quad \mbox{for every $\vec{x_i}\in \mathbb R^3$}$$ (Das Tensorprodukt ist hier das zwischen den Zwischenräumen $\mathbb C^4$) ist multilinear . Die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts impliziert, dass es eine eindeutige lineare Abbildung gibt $$f_\otimes: V_1\otimes \cdots \mbox{($N$-times)}\cdots \otimes V_1 \to V_{N}$$ so dass $$f_\otimes: V_1 \otimes \cdots \mbox{($N$-times)}\cdots \otimes V_1 \ni (\psi_1, \ldots, \psi_N) \to \Psi \in V_{N}\:.$$ (Das obige Tensorprodukt ist das der Funktionenräume $V_1$nicht aus Fasern $\mathbb C^4$.) Die Karte $f_\otimes$ist der gesuchte lineare Homomorphismus. In der Tat, $f_\otimes$ist injektiv und somit haben Sie die gesuchte Identifikation. Leider habe ich nicht viel Zeit, um Details zu beheben, aber der Weg zum Beweis der Injektivität sollte so sein.

Wenn$\{\psi_k\}_{k \in K}$ist eine Hamel-Basis von$V_1$(Zorns Lemma versichert, dass es existiert), das ist leicht zu beweisen$\{\psi_{k_1} \otimes \cdots \otimes \psi_{k_N}\}_{k_1,\ldots, k_N \in K}$ist eine Hamel-Basis von$V_1 \otimes \cdots \otimes V_1$ $N$mal. Durch die Konstruktion stellt sich heraus, dass der Kernel von$f_\otimes$besteht aus den endlichen Linearkombinationen

$$\sum_{k_1,\ldots, k_N \in K} C^{k_1\ldots k_N} \psi_{k_1} \otimes \cdots \otimes \psi_{k_N}=0$$ Seit $\{\psi_{k_1} \otimes \cdots \otimes \psi_{k_N}\}_{k_1,\ldots, k_N \in K}$eine Hamel-Basis ist, schließen wir daraus, dass jeder $C^{k_1\ldots k_N}=0$und somit $Ker(f_\otimes)= \{0\}$.

NACHTRAG . Die Konstruktion überdauert die Einführung natürlicher Topologien und die Bezugnahme auf zugehörige topologische Tensorproduktstrukturen. Z.B,$V_N$kann mit einer natürlichen Hilbert-Raumstruktur ausgestattet werden und$f_\otimes$kann mit elementaren Anpassungen als Hilbert-Raum-Homomorphismus definiert werden.

Entspricht Valters Notation$V_N=\{\mathbb R^{3N}\to (\mathbb C^4)^{\otimes N}\}$Ich denke, es gibt eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen$V_N$Und$V_1^{\otimes N}$Weil

$$\mathrm{dim } \,V_1=(\mathrm{dim }\, \mathbb C^4)^{\left|{\mathbb R^3}\right|}$$ darüber hinaus $$\mathrm{dim }\,V_1^{\otimes N}=(\mathrm{dim }\,V_1)^N=(\mathrm{dim } \,\mathbb C^4)^{N\left|{\mathbb R^3}\right|}$$ wohingegen $$\mathrm{dim }\,V_N=(\mathrm{dim }\,((\mathbb C^4)^{\otimes N}))^{\left| \mathbb R^{3N}\right|}=(\mathrm{dim }\, \mathbb C^4)^{N\left|{\mathbb R^{3N}}\right|}$$ aber seit $\left|\mathbb R^3\right| =\left|\mathbb R^{3N} \right|$Sie haben die gleiche Dimension ( $2^\mathfrak c$) sind also isomorph.