Was sind ihre Zwecke?

Die "Zwecke" hyperbolischer Geometrien sind in der Mathematik vielfältig und vielfältig, aber einer hebt sich zumindest historisch als Zweck weit von allen anderen ab . Hyperbolische Geometrien wurden konstruiert, um zu beweisen, dass das parallele Postulat von Euklid (siehe Wiki-Seite „Paralleles Postulat“) logisch unabhängig von Euklids anderen Axiomen der Geometrie war. Vor János Bolyai und Nikolai Lobachevskykonkrete Beispiele von Geometrien entdeckten, die alle anderen Postulate von Euklid erfüllten, aber nicht das parallele Postulat in den 1820er Jahren, gab es viele bemerkenswerte angebliche (aber später als fehlerhaft erwiesene) "Beweise" des parallelen Postulats von Euklids anderen (diese werden diskutiert auf die Wiki-Seite). Aber der konkrete Nachweis einer Geometrie, die die anderen Axiome erfüllt, bei der aber das parallele Postulat nicht entscheidend zutraf, zeigte, dass sie nicht allein aus den anderen abgeleitet werden konnte: Sonst stünde sie im logischen Widerspruch zu den ausgestellten konkreten Modellen (siehe „Modelltheorie“ ) Wiki-Seite) , die Bolyai und Lobachevsky entdeckt haben.

Ein anderer, wahrscheinlich der wichtigste, moderne Zweck (außerhalb des Studiums der hyperbolischen Geometrie um seiner selbst willen) ist eine lokale Annäherung an die Geometrie einer allgemeinen Mannigfaltigkeit in einer Umgebung, in der die Krümmung als ungefähr konstant und negativ angenommen werden kann. Es ist "eine Stufe höher" von der euklidischen / Minkowskischen (unterzeichneten flachen) lokalen Annäherung an eine Mannigfaltigkeit, die durch den Tangentialraum gegeben ist. Wenn Sie möchten, ist die hyperbolische Geometrie (und im Folgenden meine ich mit diesen Worten die hyperbolische Geometrie mit konstanter Krümmung) so, als würde man die Taylor-Näherung an eine Oberfläche zweiter Ordnung (in einem Bereich mit negativer Krümmung) heranführen, wobei der Tangentialraum die Taylor-Näherung erster Ordnung ist. In zwei Dimensionen ist beispielsweise die hyperbolische Geometrie eine gute Annäherung an die Geometrie auf einer Fläche in der Nähe eines Sattelpunktes.

Kann der hyperbolische Raum begrenzt werden?

Ein hyperbolischer Raum mit wirklich konstanter Krümmung kann in der Topologie, die ihn hyperbolisch macht, nicht kompakt sein: Nehmen Sie das Poincaré-Scheibenmodell und beobachten Sie dies für jede Entfernung$d_0$, egal wie groß, es gibt immer Punkte$u,\,v$für die der globale Mindestabstand zwischen ihnen größer ist. Nehmen$u$das Zentrum der Poincaré-Scheibe sein und$v$der Punkt sein, der durch gegeben wird$y=z=0$Und$x = \sqrt{\frac{\cosh(d_0+\epsilon)-1}{\cosh(d_0+\epsilon)+1}}$, Wo$\epsilon>0$Zum Beispiel. Lokal hyperbolische Mannigfaltigkeiten können jedoch durchaus kompakt sein: Intuitiv ist dies offensichtlich, wenn Sie einen Ballon aufblasen und zwei Finger in seine Oberfläche stecken, um ihm zwei konkave Vertiefungen zu geben. Die Sattelregion zwischen den Grübchen ist lokal hyperbolisch, aber die globale Mannigfaltigkeit ist diffeomorph zur kompakten 2-Sphäre.

Sie scheinen jedoch etwas anderes zu denken als in meinem Absatz oben, dh dass die Poincaré-Scheibe homöomorph zu einem begrenzten, aber offenen, dh nicht kompakten Unterraum des euklidischen Raums ist: Lassen Sie uns diesen Gedanken beibehalten, bis ich Ihre letzte Frage beantworte.

Können wir die Scheibe mit der durch die FLRW-Metrik beschriebenen Struktur ausstatten?

Ja, du kannst. Die Poincaré-Scheibe modelliert einen hyperbolischen Raum mit konstanter negativer Krümmung, sodass man sich die FLRW-Metrik als eine Art Erweiterung der Poincaré-Scheibe um eine Funktion des FLRW-Skalierungsfaktors vorstellen kann$a(t)$. Sehen Sie sich meine Berechnungen am Ende meiner Antwort an, um dies klarer zu sehen.

Könnte unser Universum so begrenzt, aber dennoch unendlich sein?

Wie in Doetoes Antwort bildet eine nichtlineare Transformation eine FLRW-konstante negative Krümmung auf einen "endlichen" Satz ab - endlich im umgebenden euklidischen Raum. Aber die Minkowski-Distanz ist das, was ein Wesen, das zu diesem Universum gehört und in diesem lebt, messen würde. Es ist die einzige "physikalische" Abstandsfunktion in diesem Universum, und ein solches Universum enthält immer beliebig weit voneinander entfernte Punkte. Wenn Sie also an eine solche Struktur als begrenzt denken, dann lautet die Antwort "Ja", aber dies ist eine völlig künstliche Konstruktion und hat nichts mit Physik zu tun. Sie können immer eine nichtlineare Transformation finden, um unendliche Bereiche auf offene, begrenzte abzubilden. Es ist, als würde man alle Zeiten abbilden – die unbegrenzte reelle Linie$\mathbb{R}$durch Transformation auf ein endliches Intervall$\tau:\mathbb{R}\to(-1,\,1);\,\tau(x) = \tanh(x)$.

Es kann für Sie hilfreich sein zu verstehen, dass die Poincaré-Scheibe die bijektive ("informationserhaltende" oder "invertierbare") und isometrische ("längen- und winkelerhaltende") stereografische Projektion ist (siehe Abschnitt "Beziehung zum Hyperboloid-Modell" auf der Seite 2) . Poincaré-Scheibe Wiki-Seite) ) des Hyperboloids, eines unbegrenzten geometrischen Objekts.

Beziehung zur FLRW-Metrik

Um zu sehen, wie die Poincaré-Scheibe in die FLRW-Metrik mit den Polarkoordinaten mit reduziertem Umfang für die FLRW-Metrik passt , beginnen wir mit:

wie auf der Wiki-Seite. Genau wie bei der Schwarzschild-Metrik hier$r = const$parametrisiert die auf den Ursprung zentrierte Hypersphäre so, dass die Länge einer Geodäte um die Hypersphäre herum ist$2\,\pi\,r$.$r$entspricht nicht der Länge einer Geodäte, die einen Punkt auf der Hypersphäre und dem Ursprung verbindet, abgesehen von der Krümmung$k$ist nichts.

In Bezug auf die umgebenden euklidischen Koordinaten$(x,\,y,\,z)$für Punkte auf der Poincaré-Scheibe gilt:

Wo$R=x^2+y^2+z^2$; Achten Sie sorgfältig auf den Unterschied zwischen wenig$r$und groß$R$.$R$ist die polare radiale Koordinate im umgebenden euklidischen Raum und$\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}_P^2$ist das Linienelement auf der Poincaré-Scheibe. Daher ist die Länge eines Großkreises auf der Poincaré-Scheibe:

der letzte Schritt folgt aus der Definition des reduzierten Umfangsradius, und so:

und so:

Beim Einsetzen von (4) und (5) in (1), aber jetzt ( i ) lassen$\phi$stehen für die azimutale Koordinate auf der Ebene, in der der Tangentenvektor liegt, entlang dem wir das Linienelement messen ( dh ohne Beschränkung der Allgemeinheit denken wir, dass unser Tangentenvektor in der entsprechenden Äquatorebene liegt) und ( ii ) setzen die konstante Krümmung auf Sei$k=-1$wir finden:

dh ist gleich dem auf der Poincaré-Scheibe gemessenen Linienelement.

1. Der Zweck jedes Modells der hyperbolischen Ebene besteht darin, dass einige Aspekte darin leicht rechnerisch oder intuitiv zu bearbeiten sind, z. B. das Schreiben bestimmter Isometrien, das Identifizieren von Geodäten, das Berechnen von Volumen usw.

2. Der hyperbolische Raum ist unbeschränkt, eine hyperbolische Mannigfaltigkeit kann beschränkt werden.

3. Ich weiß nicht

4. Ja

5. Wenn Sie die Begriffe begrenzt und unendlich nicht so verwenden, dass sie sich per Definition gegenseitig ausschließen, verwenden Sie eine nicht standardmäßige Terminologie. Vielleicht haben Sie den Eindruck, dass die hyperbolische Ebene im Poincaré-Scheibenmodell begrenzt ist, aber das ist nicht der Fall. Es wäre, wenn wir die euklidische Metrik verwenden würden, aber dann wäre es nicht mehr die hyperbolische Ebene.