Kann die Unendlichkeit definiert werden?

Wenn Sie alle Definitionen dessen ablehnen, was wir mit dem Wort „Unendlichkeit“ meinen, dann ist es tautologisch, dass „Unendlichkeit“ nicht definiert werden kann. Ähnlich verhält es sich mit dem Wort „unendlich“.

Die Mathematik hat eine lange und bewegte Geschichte im Umgang mit der Unendlichkeit. Wenn Sie sich mit echter Analysis auskennen, dann wissen Sie, dass Cauchy (geb. 1789) der erste war, der unsere Darstellung von Folgen und Reihen und sogar von Funktionen und Analysis rigoros machte, und er tat dies, indem er als erster ein sehr subtiles und verstand elegante Art, das unendlich Große und Kleine auszudrücken.

Mit a_n als Folge und a als Grenze nehmen wir den täuschend einfachen Ausdruck

folgendes bedeuten

Obwohl zunächst undurchdringlich, ist dies die perfekte Definition für etwas, das sich mit dem extrem Kleinen und Großen befasst. Dies bedeutet, dass eine wirklich konvergierende Sequenz, egal wie klein Sie den Abstand wählen, für den Rest der Unendlichkeit immer in diesem Abstand von ihrer Grenze bleiben wird, vorausgesetzt, Sie beginnen, die Sequenz am richtigen Punkt zu betrachten.

Unendlichkeit war schon immer eine Abkürzung für das Unbegrenzte: Es war eine wichtige Entdeckung, dass eine unbegrenzte Funktion definiert werden kann, indem man zum Beispiel immer eine endliche Grenze überschreitet, die man setzen könnte. Als Menschen können wir natürlicher mit dem Endlichen arbeiten*. So gelang es Cauchy, Unendlichkeiten festzunageln: indem er endliche Mengen nahm und zeigte, dass das eventuelle Überschreiten einer Grenze oder die eventuelle Eindämmung innerhalb einer Grenze für uns Normalsterbliche ausreichte, um das Konzept zu unserem Vorteil zu nutzen.

*Vor Cantor.

Hier ist die Frage:

Ich frage also nicht nach diesen Definitionen. Was ich zu jeder potenziellen oder tatsächlichen Definition von Unendlichkeit frage, ist, ob es sich nicht um einen Widerspruch in Begriffen und um eine selbstzerstörerische Übung handelt, um zu definieren, was unbestimmt ist?

Das OP sucht nicht nach einer Definition von Unendlichkeit, sondern ob Unendlichkeit definiert werden kann. Auch das OP ist nicht an einer mathematischen Definition interessiert oder an einer, die das Unendliche als Negation der Endlichkeit definiert. Hier ist die Sorge des OP:

Es kann durchaus sein, dass die Vorstellungen von Gott und Unendlichkeit sehr eng miteinander verbunden sind und vielleicht eine gemeinsame Geschichte haben. Dies würde dann Fragen zur Definition von Gott aufwerfen. Ist es nicht selbstzerstörerisch zu versuchen, das Transzendente zu definieren, denn das definierte Transzendente macht es immanent? Ebenso ist eine instantiierte Unendlichkeit, eine Unendlichkeit, auf die man sich beziehen kann, nicht unendlich.

Dominic J. O'Meara bietet eine Ansicht von Plotin darüber, was mit der Rückkehr zum Einen verbunden ist, Plotins Vorstellung von Gott. Unser Wissen einschließlich unserer Definitionen ist bestenfalls abgeleitet. O'Meara zitiert die Enneaden IV. 8[6]. 1. 1-10: (Seite 104)

Die Argumente [die es uns ermöglichten, zu unserem wahren Selbst als Seele zurückzukehren] führen uns sogar noch weiter. Sie zeigen nicht nur die Seele, was sie ist; sie führen es auch zu der Einsicht, dass das Wissen, das es hat, abgeleitet ist, dass es von einer höheren Form des Denkens stammt, dem göttlichen Intellekt, der im Gegensatz zu ihm keine langen logischen Prozesse durchlaufen muss, sondern Wissen in einem anderen und überlegenen besitzt Weg.

Was immer wir an Definitionen haben, sind von dieser höheren Form des Denkens abgeleitet, Außerdem müssen diese Argumente zurückgelassen werden: (Seite 105)

Es sei darauf hingewiesen, dass, wenn die Transformation unseres Lebens, die mit der Intellektwerdung einhergeht, durch philosophische Argumente erleichtert wird, diese Argumente ebenfalls zurückgelassen werden müssen: Sie bedienen sich logischer Prozesse und sind in der perfekten Erkenntnis des Intellekts nicht erforderlich.

Dies legt nahe, wie das OP vermutet, dass jede Definition von Gott (oder Unendlichkeit) möglicherweise zurückgelassen werden muss, zumindest angesichts des von Plotin präsentierten Neuplatonismus.

O’Meara, DJ (1995). Plotin: eine Einführung in die Enneaden. Oxford University Press.

Angenommen, die Frage bezieht sich eher auf das eigentliche Konzept oder die Eigenschaft der Unendlichkeit als auf eine bestimmte Instanz oder ein bestimmtes Objekt . Überlegen Sie, was @Sputnik oben erwähnt hat, und versuchen Sie, Cauchy anzuwenden: Was wäre die endliche Menge, die es zu übertreffen gilt ? Eine Aufzählung aller möglichen Unendlichkeiten? Aber dann würde die Definition den Begriff enthalten oder eher einfach keine wohlgeformte Formel sein. Unendlichkeit kann also nicht definiert werden, ohne auf Rekursion zurückzugreifen. Vor allem, weil wir "per Definition" nicht alle Arten von Unendlichkeiten kennen können.

Ja, ähnliche Argumente können auf Gott angewandt werden: Dh Argumente können nicht auf Gott angewandt werden

Formal ist „unendlich“ nicht nur die Negation von „endlich“. Eine unendliche Menge kann als eine Menge definiert werden, die in eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit einer richtigen Teilmenge von sich selbst gebracht werden kann. Das ist eine Definition, die sich nicht einmal auf endliche Mengen bezieht, sondern eine bestimmte Eigenschaft definiert, die unendliche Mengen haben und endliche Mengen nicht. Dies führt zu einem Zweig der Mengenlehre, der, soweit wir das beurteilen können, nicht in sich widersprüchlich ist (es besteht immer die Möglichkeit, dass jemand daherkommt und den größten Teil der Mathematik widerlegt, aber ich mache mir keine Sorgen, dass dies passieren wird). Sie können kontraintuitiv sein, aber das gilt für viele Mathematik und Physik.

Außerdem sind „Definition“ und „unbestimmt“ keine Antonyme. Sie können in einem Wörterbuch nachschlagen und eine ziemlich genaue Definition von "vage" erhalten. Es ist vollkommen vernünftig, Wörterbuchdefinitionen von "unbestimmt" und "unendlich" zu haben.