Kann eine Lagrange-Dichte im Allgemeinen explizit von der Raumzeit abhängen?

Question

Kann eine Lagrange-Dichte im Allgemeinen explizit von der Raumzeit abhängen?

Physik
Feldtheorie
Noethers-Theorem
lagrangianischer Formalismus
Stress-Energie-Impuls-Tensor

JSQuareD

In einer Übung zu klassischen Feldtheorien versuche ich, die allgemeine Formel des Energie-Impuls-Tensors herzuleiten. Gemäß der Formel im Vorlesungsskript enthält dieser Tensor einen Term minus der Lagrange-Dichte entlang der Diagonalen. Dieser Begriff taucht jedoch in meiner Herleitung nicht auf, es sei denn, ich gehe davon aus, dass die Lagrange-Dichte nicht explizit von der Raumzeit abhängt.

Wenn ich diese Annahme mache, erscheint der Term als Ergebnis einer teilweisen Integration des Terms, der das Produkt der Lagrange-Dichte und der Ableitung des Variationsparameters in Bezug auf eine Komponente der Raumzeit ist. Durch die partielle Integration erhalten wir die partielle Ableitung der Lagrange-Dichte in Bezug auf diese Raum-Zeit-Komponente multipliziert mit dem Variationsparameter. Aber da wir angenommen haben, dass die Lagrange-Dichte nicht explizit von der Raumzeit abhängt, können wir diesen Term genauso gut ignorieren, und wieder erhalte ich den diagonalen Lagrange-Dichte-Term nicht.

Mit anderen Worten, wenn wir davon ausgehen, dass die Lagrange-Dichte nicht explizit von der Raumzeit abhängt, trägt dieser Begriff nicht wirklich zum Erhaltungssatz bei, also können wir ihn genauso gut ignorieren.

Die Fragen lauten also:

Kann die Lagrange-Dichte explizit von der Raumzeit abhängen, und
Warum hat der Energie-Impuls-Tensor einen diagonalen Lagrange-Term?

JSQuareD

@Qmechanic, danke für die Bearbeitung. Ich habe das tatsächlich auf meinem Handy eingegeben, daher ist es möglicherweise nicht so klar, wie es hätte sein können.

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Kann eine Lagrange-Dichte im Allgemeinen explizit von der Raumzeit abhängen?

@Qmechanic, danke für die Bearbeitung. Ich habe das tatsächlich auf meinem Handy eingegeben, daher ist es möglicherweise nicht so klar, wie es hätte sein können.

QMechaniker · Answer 1

Bevor wir uns der Feldtheorie zuwenden, scheint es aufschlussreich, die gleichen Fragen zunächst in der Punktmechanik zu stellen:

Kann die Lagrange $L(q,v,t)$ explizit von der Zeit abhängen?

Ja. Der Lagrange $L(q,v,t)$ kann explizit von der Zeit abhängen. Es könnte zB externe Quellen geben .

Wenn andererseits die Lagrange-Funktion nicht explizit von der Zeit abhängt, hat die Aktion eine Zeittranslationssymmetrie, die (über den Satz von Noether) zur Energieerhaltung führt. Gehen wir von nun an davon aus, dass dies der Fall ist $^1$ .

Warum funktioniert die Energie? $\begin{matrix} (1) & H := P_{ich} {\dot{Q}}^{ich} - L, P_{ich} := \frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}^{ich}}, \end{matrix}$ $\tag{1}h~:=~p_{i}\dot{q}^{i}-L,\qquad p_i ~:=~\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i},$ einen Lagrange-Term haben?

Nun, die Energie ist definiert als die Noether-Ladung für die Zeittranslationssymmetrie. Man müsste die Standard-Noether-Prozedur/-Methode durchlaufen, um die Standardformel (1) für die Energiefunktion abzuleiten. Dies wird zB auf Wikipedia oder in diesem Phys.SE-Beitrag diskutiert.

Schließlich kann die obige Argumentation von der Punktmechanik auf die Feldtheorie verallgemeinert werden, wobei die Zeit $t$ wird durch Raumzeitpunkte ersetzt $x^{\mu}$ , und wo Positionen $q^i(t)$ werden durch Felder ersetzt $\phi^{\alpha}(x)$ .

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$^1$ Auch in Situationen mit expliziter Zeitabhängigkeit werden wir weiterhin Formel (1) als Definition der Lagrange-Energiefunktion verwenden, obwohl es sich nicht mehr um eine Bewegungskonstante handelt.

In Ordnung, wir können den Satz von Noether anwenden, um den Energie-Impuls-Tensor genau dann abzuleiten, wenn die Lagrange-Dichte keine explizite Raum-Zeit-Abhängigkeit hat. Das macht Sinn. Was die zweite Frage betrifft, werde ich versuchen, wenn ich mehr Zeit habe, etwas klarer zu machen, womit ich bei der Herleitung genau Probleme habe. Danke erstmal :)
Tatsächlich glaube ich, nachdem ich meine Ableitung ein paar Mal durchgegangen bin, dass ich mich davon überzeugt habe, dass die verbleibenden Probleme nur eine Frage der Verwechslung meiner partiellen und totalen Ableitungen sind. Ich hatte auch ein kleines Problem damit, ob der Grenzterm in einer partiellen Integration verschwindet, also wenn ich das nicht herausfinden kann, werde ich eine neue Frage erstellen. Aber ansonsten denke ich ist es klar. Vielen Dank für Ihre Hilfe!

Kann eine Lagrange-Dichte im Allgemeinen explizit von der Raumzeit abhängen?

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QMechaniker

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