Kann man Systeme mit lokalen (nicht-Eich-!) Symmetrien quantisieren?

Ist es grundsätzlich problematisch, klassische Theorien mit lokalen Symmetrien zu quantisieren? Betrachten Sie zum Beispiel die Wirkung von EM, aber interpretieren Sie sie jetzt A μ als körperlich . Auf klassischer Ebene hindert mich nichts daran (obwohl es einem ein unangenehmes Gefühl geben könnte). Gibt es irgendetwas, das mich daran hindert, daraus eine Quantentheorie zu machen? Tatsächlich scheint es so, als könnte ich einfach das Pfadintegral davon aufschreiben, das tatsächlich mit dem spurinvarianten Pfadintegral des Standard-EM zusammenfällt - bis zu einer globalen (irrelevanten) Konstante , die das Volumen der Spurbahnen misst ( das ist nur das konstante Volumen der Eichgruppe).

Hinweis: Mir ist bewusst, dass das übliche Verfahren problematisch ist, da der Propagator nicht wohldefiniert ist. Das ist aber kein intrinsisches Problem, sondern eher ein Manko der perturbativen Sichtweise. In der Tat kann die Gittereichtheorie Theorien quantisieren, ohne ein Eichmaß festzulegen, wodurch das oben erwähnte Propagatorproblem umgangen wird.

In der Tat, wenn ich einfach eine nehme U ( 1 ) Gittereichtheorie und ignoriere die Einschränkung, es scheint, ich habe eine perfekt definierte Quantentheorie mit einer lokalen Symmetrie? Gleichzeitig erscheint es aus konzeptioneller Sicht überraschend: Symmetrien, die in der Zeit lokal sind , sind bereits auf klassischer Ebene sehr seltsam, da dies eine Unterbestimmtheit auf der Ebene von impliziert A μ (Sogar wenn Anfangs- und Endwerte festgelegt werden, kann man sich problemlos verformen A μ in der Zwischenzeit). Dies würde darauf hindeuten, dass eine Hamiltonsche Formulierung (wobei A μ wird als körperlich angesehen ) wäre problematisch. Wenn ich eine Gittereichtheorie nehme und alle Eichbeschränkungen ignoriere, ist die Theorie dann unterbestimmt? (Ein Gegenbeispiel scheint der torische Code zu sein H = − K ∑ A v − ∑ B P : für K → ∞ dies ist eine Eichtheorie mit Einschränkung A v = 1 , jedoch für K endlich kann dies als physikalisches Modell mit lokaler Symmetrie interpretiert werden, ist aber nicht unbestimmt. Ein möglicher Ausweg: explizit hinzufügen A v zum Hamilton-Operator könnte — in einem Lagrange-Bild — gleichbedeutend sein mit der Zerstörung der Symmetrie, die zeitlich lokal war (wobei die Symmetrie, die im Raum lokal ist, eindeutig beibehalten wird )?)

Beachten Sie, dass im Allgemeinen Messgerät ≡ lokal. "Lokale (nicht-kalibrierte!) Symmetrie" ist ein Oxymoron. Beachten Sie auch, dass die Gauge dof immer eine negative Norm haben, sodass sie die Einheitlichkeit brechen, was offensichtlich nicht gut ist.
Nicht alle lokalen Symmetrien sind Eichsymmetrien. Zum Beispiel sind winkeltreue 2d-Symmetrien lokal, aber keine Eichung.
@AccidentalFourierTransform - In vielen Fällen gibt es lokale Symmetrien, die kein Messgerät sind. Asymptotische Symmetrien in AdS 3 sind ein Beispiel. In jüngerer Zeit wurde über die BMS-Gruppe diskutiert, bei der es sich um eine nicht-kalibrierte Diffeomorphismus-Symmetrie der allgemeinen Relativitätstheorie in flacher Raumzeit handelt.
Für die meisten Menschen sind „Gauge“ und „local“ Synonyme. Was ist die Definition von "Messgerät" außer "Symmetrieparameter, hängt davon ab X "? Aber das ist für die Frage im OP sowieso kaum relevant, also egal.
@AccidentalFourierTransform 'Gauge' bedeutet 'Redundanz in der Beschreibung'. Dies betrifft zum Beispiel das Maß, das man im Pfadintegral verwendet. Beachten Sie, dass lokale Symmetrien kein Messgerät sein müssen (betrachten Sie CFTs oder einfacher die Quanten-Ising-Kette H = ∑ N σ N X σ N + 1 X was --- in diesem Limes --- lokale Symmetrien hat P N = σ N X ). Darüber hinaus müssen Eichsymmetrien nicht lokal sein (z. B. wird „Symmetrie“ der fermionischen Parität gemeinhin als globale Eichsymmetrie angesehen, da nur Zustände vorliegen, deren wohldefinierte Parität physikalisch ist).
@Ruben Verresen: Erwägen Sie, diese Definitionen in den Hauptbeitrag (anstelle von Kommentaren) aufzunehmen, da verschiedene Autoren unterschiedliche Terminologien haben und Kommentare in Zukunft möglicherweise verschwinden.

Antworten (1)

Warum lokale Transformationen Eichtransformationen sein müssen :

Traditionell ist die Quantisierung ein Rezept, bei dem der Phasenraum eines klassischen Systems durch einen Hilbert-Raum eines Quantensystems ersetzt wird; und Funktionen im Phasenraum, die die Observablen darstellen, werden durch Operatoren im Hilbert-Raum ersetzt. Außerdem wird die Wirkung der klassischen Observablen auf den Phasenraum durch eine mit einem Parameter gewichtete Quantenwirkung ihrer Quantengegenstücke ersetzt ℏ so dass in der Grenze ℏ → 0 , fällt die Aktion mit der klassischen Aktion zusammen (Korrespondenzprinzip).

Auch wenn es in vielen Anwendungen nicht explizit ausgesprochen wird, sollte ein Quantisierungsvorgang von einem Phasenraum ausgehen. Die grundlegende Bedeutung eines Phasenraums ist der Raum aller möglichen Anfangsbedingungen (Raum der Anfangsdaten). Auf der Basisebene beschäftigen wir uns mit Systemen, deren Bewegungsgleichungen die Existenzeigenschaft und Eindeutigkeit von Lösungen erfüllen; somit entspricht jeder Anfangsbedingung eine eindeutige Lösung. Daher können wir uns den Phasenraum als den Raum aller klassischen Lösungen vorstellen. Die letztere Definition des Phasenraums hat Vorteile, da sie die Zeit nicht von den anderen Koordinaten trennen muss und eine kovariante Definition des Phasenraums ermöglicht. In der physikalischen Literatur ist es unter dem Crnković-Witten- Formalismus bekannt.

Wenn lokale Symmetrien vorhanden sind, geht die Eigenschaft der Eindeutigkeit von Lösungen verloren und es gibt Kombinationen von Koordinaten oder Feldern in der Lagrange-Funktion, die nicht durch die Bewegungsgleichungen kontrolliert werden und beliebige Werte annehmen können. Die Theorie kann darüber nichts sagen. Andererseits sind die kontrollierten Kombinationen genau die eicheninvarianten Kombinationen. Dies ist eine der Konsequenzen aus Noethers zweitem Theorem .

Erinnern an die grundlegende Definition des Phasenraums als Raum der Anfangsbedingungen; das Beste, was wir tun können, ist, mit dem Unterraum der Anfangsdaten zu arbeiten, den die Theorie kontrollieren kann; dh der Raum der eichinvarianten Observablen. Diese Observablen erzeugen den reduzierten Phasenraum, dh einen Phasenraum, in dem die lokale Symmetrie weggeeicht ist.

Dieser Raum ist im Allgemeinen keine Mannigfaltigkeit. Es enthält Singularitätspunkte, die es schwierig machen, selbst einfache quantenmechanische Systeme zu quantisieren; siehe Emmrich und Römer . Aus diesem Grund werden Methoden wie BRST verwendet, um die Eichsymmetrie nach der Quantisierung aufzuerlegen.

Auf dem Gitter:

Auf dem Gitter werden nur Korrelatoren von eichinvarianten Observablen berechnet. In diesem Fall manifestiert sich die Eichredundanz durch eine multiplikative Konstante des Volumens der diskretisierten Eichgruppe sowohl im Nenner als auch im Zähler. Wir würden einen Fehler begehen, wenn wir Korrelatoren von nicht-invarianten Eichgrößen berechnet hätten, die nicht durch die Theorie kontrolliert werden. Ihre Korrelatoren werden von keinem Parameter der Theorie (wie Kopplungskonstanten) abhängen, die wir untersuchen wollen, und sie würden nur ein zufälliges Ergebnis liefern, das sehr empfindlich auf die Methode reagiert, die wir gewählt haben, um sie als Quantenobservable zu interpretieren.

Außerdem ist es viel bequemer, mit nicht reduziertem Phasenraum auf dem Gitter zu arbeiten. Es wäre extrem schwierig, wenn wir an dem reduzierten Phasenraum gearbeitet hätten, der, wie oben erklärt, ein sehr komplizierter Raum ist.

Globale Symmetrie

Im Gegensatz zum Fall der Eichsymmetrie schränkt die Theorie nicht ein, wie wir globale Symmetrien behandeln. Solange sie nicht anomal sind, haben wir im Prinzip die Freiheit, globale Symmetrien wegzuschätzen oder sie als Symmetrien des Systems (klassisch und Quanten) zu belassen. Im ersten Fall interpretieren wir die durch Symmetrieoperationen verwandte Konfiguration als denselben physikalischen Zustand, während wir sie im zweiten Fall als unterschiedliche physikalische Zustände interpretieren, die durch Symmetrie verknüpft sind. Ein Sonderfall dieser Symmetrien sind die großen Spursymmetrien, die in vielen Beispielen als Symmetrien und nicht als Redundanzen wirken, da sie physikalisch unterschiedliche Zustände verbinden. Dieses Thema wurde hier im Physik-Stack-Austausch viele Male diskutiert. Bitte beachten Sie die folgende Antwort und die darin enthaltenen Verweise.

Asymptotische Symmetrien

Asymptotische Symmetrien sind „Eichmaß“-Symmetrien auf nicht kompakten Räumen oder Räumen mit einer speziellen geschlossenen Oberfläche, wobei die Randbedingungen invariant modulo jene bleiben, die mit der Identitätskomponente verbunden sind. Diese Symmetrien, die in bestimmten Fällen unendlich dimensionale Lie-Gruppen erzeugen, sind auch nicht in Noethers zweitem Theorem enthalten, das eine kompakte Unterstützung der Variation annimmt. Diese Symmetrien führen zu physikalischen Ladungen wie elektrischen und magnetischen Ladungen. Daher sollten sie auch aus Sicht des Quantisierungsprozesses als globale Symmetrien betrachtet werden.

Zusammenfassung

Asymptotisch triviale lokale Symmetrien müssen als Eichtransformationen betrachtet werden

Ein mathematischer Vorbehalt: Um die Eindeutigkeit der Zeitentwicklung zu verletzen, muss es möglich sein, eine Symmetrie zu konstruieren, die auf den Anfangsdaten verschwindet. Dies ist in der Yang-Mills-Theorie einfach, aber im Allgemeinen nicht garantiert.
@ user1504 meinst du eine Symmetrie, dh eine Transformation, die mit dem Hamilton-Operator pendelt, die außerdem trivial auf die Mannigfaltigkeit der Anfangsdaten einwirkt?
Ja. Mit reibungslosen Funktionen ist dies ganz einfach möglich. Mit holomorph unmöglich.
@ user1504 Aber wenn die Symmetrie bei den Anfangsdaten trivial ist und mit dem Hamiltonian pendelt, dann wird sie jederzeit trivial sein, warum wird sie dann nicht nur durch die Identitätskarte \ den Identitätsoperator dargestellt?
Kann man Systeme mit lokalen (nicht-Eich-!) Symmetrien quantisieren?
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