Kann mir jemand helfen, Polarkoordinaten 2D besser zu verstehen?

Ich habe viel Algebra in Polarkoordinaten gemacht, aber jetzt verwirren mich einige grundlegende Dinge. Ein allgemeiner Vektor in kartesischen Koordinaten kann geschrieben werden als$\mathbf{v} = x \hat{x} + y\hat{y}$. Und in Polarkoordinaten ist es$r \hat{r} + \phi \hat{\phi}$Wo$\phi$ist der Winkel, den der Vektor mit der x-Achse bildet. Jetzt möchte ich sagen, die Vektoren schreiben$\hat{x} + \hat{y}$Und$\hat{x} - \hat{y}$in Polarkoordinaten. Wie mache ich das? werden sie sein$\sqrt{2} \hat{r} + \pi/4\hat{\phi}$Und$\sqrt{2} \hat{r} - \pi/4\hat{\phi}$? Ich war verwirrt, weil ein Vektorfeld, das radial nach außen geht, so aussehen wird$\mathbf{V} = r\hat{r}$. Und so haben Polarkoordinaten die beiden genannten Vektoren die gleiche Darstellung. Übersehe ich hier etwas? Ich verstehe, dass die Basisvektoren für Polarkoordinaten an jedem Punkt im 2D-Raum unterschiedlich sind, aber sollte ein Vektor, der irgendwo auf der 2D-Ebene beschrieben wird, nicht eindeutig durch ein r und Theta beschrieben werden?