Wenn wir Vektoren in einem kartesischen Koordinatensystem in irgendeiner Weise verschieben, ändert sich dann nicht die Bedeutung des Vektors?

Er sprach nicht in diesem Sinne. Es bedeutet einfach, dass ein Vektor durch einen Pfeil im Raum beschrieben wird, der eine bestimmte Richtung und eine bestimmte Länge hat. Nun spielt es keine Rolle, ob dieser Pfeil im Raum herumbewegt wird, ohne seine Richtung und Länge zu ändern, er bleibt immer noch derselbe Vektor .

Betrachten Sie zum Beispiel einen Vektor, von dem aus zeigen$(1,1,1)$Zu$(2,2,2)$. Also der Vektor gegeben durch

Wenn wir diesen Vektor um einen bestimmten Betrag verschieben, sagen wir$(1,2,3)$, dann verschiebt sich der Punkt nach$(2,3,4)$Und$(3,4,5)$aber immer noch Vektor gegeben durch

Nun, wenn Sie einen physischen Inhalt hinzufügen. Zum Beispiel Angenommen$\vec{A}(x,y)$Beschreiben Sie eine Windströmung an einem Punkt$(x,y)$. Wenn wir nun jeden Punkt um einen Betrag von verschieben$(1,1,1)$, würde sich das Vektorfeld ändern. Natürlich wird die Situation geändert, jetzt ist die Windströmung falsch. Aber noch einmal, der Vektor, der irgendwann war$(x_0,y_0)$wird derselbe Vektor sein wie jetzt$(x_0+1,y_0+1)$in dem Sinne, dass seine Länge und Richtung die gleichen wie zuvor sind.

Bearbeiten: Obwohl in der Physik, möchte man diese Fälle vielleicht kategorisieren. So definiert man

• Freie Vektoren Eine vektorähnliche Geschwindigkeit eines Körpers in gleichförmiger Translationsbewegung, die parallel zu sich selbst verschoben und an jedem beliebigen Punkt aufgebracht werden kann.
• Gleitender Vektor - Eine vektorähnliche Kraft, die auf einen starren Körper ausgeübt wird, der an einem festen Punkt befestigt ist und nur entlang der Linie verschoben werden kann, die den Vektor enthält.
• Gebundener Vektor Ein Vektor wie die Windgeschwindigkeit an einem bestimmten Punkt im Raum, der auf einen festen Punkt bezogen ist.

Ihre Besorgnis über die Verschiebung von Vektoren ist begründet. Das Problem entsteht in der schlampigen Einführung in Vektoren, die normalerweise in einführenden Physikkursen vorhanden ist. Das Video, auf das Sie sich beziehen, ist nicht viel anders.

Lassen Sie mich betonen, wo die Probleme liegen. Aus mathematischer Sicht würde die Idee, dass ein parallel verschobener Vektor derselbe Vektor ist, das Identifizieren aller parallel verschobenen Vektoren erfordern. Ohne das gäbe es mehr als ein neutrales Element oder mehr als eine additive Inverse, im Gegensatz zu einfachen Sätzen in der linearen Algebra. Allerdings widerspricht eine solche Identifizierung einigen Anwendungen in der Physik. Wird beispielsweise eine Kraft auf einen starren Körper aufgebracht, kommt es für die resultierende Bewegung auf den genauen Angriffspunkt an. Daher kann sich ein Anfänger bei solchen Widersprüchen unwohl fühlen. Eine Teillösung kann durch die Einführung qualifizierter Vektoren (freie Vektoren, lokalisierte Vektoren, gleitende Vektoren usw.) erreicht werden. Ich fand solche rein terminologischen Unterschiede nie befriedigend.

Tatsächlich haben Mathematiker zwei verwandte, aber unterschiedliche Mengen eindeutig identifiziert. Auf der einen Seite Vektorräume , die in 1, 2 oder 3 Dimensionen grafisch durch die Menge aller Pfeile dargestellt werden können, die von einem speziellen Punkt ausgehen. Auf der anderen Seite affine Räume , dh ein Raum von Punkten, so dass jedem Punktpaar ein Vektor zugeordnet ist. Ein affiner Raum verhält sich wie ein Vektorraum mit mehreren Ursprüngen . Jede Aussage über Übersetzungen von Vektoren ist eigentlich eine in einem affinen Raum gültige Aussage. Dabei ist es möglich, die sogenannten freien und lokalisierten Vektoren klar zu unterscheiden.