Kanonische Quantisierung in der supersymmetrischen Quantenmechanik

Question

Kanonische Quantisierung in der supersymmetrischen Quantenmechanik

Physik
Quantisierung
Sigma-Modelle
Supersymmetrie
Forschungsniveau
lagrangescher Formalismus

jj_p

Angenommen, Sie haben eine Kartentheorie $\phi: {\cal T} \to M$ mit $M$ einige Riemannsche Mannigfaltigkeit, Lagrangian

\begin{matrix} (10.198) & L = \frac{1}{2} G_{ich J} {\dot{ϕ}}^{ich} {\dot{ϕ}}^{J} + \frac{ich}{2} G_{ich J} ({\bar{ψ}}^{ich} D_{T} ψ^{J} - D_{T} {\bar{ψ}}^{ich} ψ^{J}) - \frac{1}{4} R_{ich J k l} ψ^{ich} ψ^{J} {\bar{ψ}}^{k} {\bar{ψ}}^{l}, \end{matrix}

$L~=~ \frac12 g_{ij}\dot\phi^i\dot\phi^j + \frac{i}{2}g_{ij}(\overline{\psi}^i D_t\psi^j-D_t\overline{\psi}^i\psi^j) -\frac{1}{4}R_{ijkl}\psi^i\psi^j\overline{\psi}^k\overline{\psi}^l,\tag{10.198}$

Wo $g_{ij}=g_{ij}(\phi)$ ist die Metrik, $R$ sein Riemann-Tensor und seine kovariante Ableitung

\begin{matrix} (10.199) & D_{T} ψ^{ich} = \partial_{T} ψ^{ich} + Γ_{J k}^{ich} {\dot{ϕ}}^{J} ψ^{k} . \end{matrix}

$D_t\psi^i~=~ \partial_t \psi^i +\Gamma^i_{jk}\dot{\phi}^j\psi^k.\tag{10.199}$

(Details entnommen aus dem Buch Mirror Symmetry, geschrieben von Vafa et al., Abschnitt 10.4.1.)

Es wird als selbstverständlich angenommen, dass der obige Lagrange-Operator klassisch supersymmetrisch ist, wobei die susy-Transformationen durch gegeben sind

\begin{array}{rcl} (10.200) & δ ϕ^{ich} & = & ϵ {\bar{ψ}}^{ich} - \bar{ϵ} ψ^{ich} \\ (10.201) & δ ψ^{ich} & = & ich ϵ ({\dot{ϕ}}^{ich} - Γ_{J k}^{ich} {\bar{ψ}}^{J} ψ^{k}) \\ (10.202) & δ {\bar{ψ}}^{ich} & = & - ich ϵ ({\dot{ϕ}}^{ich} - Γ_{J k}^{ich} {\bar{ψ}}^{J} ψ^{k}) . \end{array}

$\begin{eqnarray}\delta\phi^i &=& \epsilon \overline\psi^i-\overline\epsilon \psi^i \tag{10.200}\cr \delta\psi^i &=& i\epsilon (\dot\phi^i-\Gamma^i_{jk}\overline\psi^j \psi^k)\tag{10.201}\cr \delta\overline\psi^i &=& -i\epsilon (\dot\phi^i-\Gamma^i_{jk}\overline\psi^j \psi^k). \tag{10.202}\end{eqnarray}$

Wie kann ich die klassischen Superladungen quantisieren?

\begin{matrix} (10.210) & Q = ich {\bar{ψ}}_{ich} {\dot{ϕ}}^{ich}, \bar{Q} = - ich G_{ich J} ψ^{ich} {\dot{ϕ}}^{J} \end{matrix}

$Q=i\overline\psi_i\dot\phi^i, \qquad \overline Q=-ig_{ij}\psi^i\dot\phi^j \tag{10.210}$

in gewisser Weise so

δ F = [ϵ Q + \bar{ϵ} \bar{Q}, F]_{\pm}

$\delta F=[\epsilon Q+\overline\epsilon\overline{Q},F]_{\pm}$

Wo $F$ ist entweder ein fermionisches oder ein bosonisches Feld und $\pm$ wird sinnvoll eingesetzt?

Die natürliche Antwort wäre so etwas wie konjugierte Impulse berechnen

\begin{matrix} (10.207b) & P_{ich} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{ϕ}}^{ich}}, π_{ich ψ} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{ψ}}^{ich}}, \end{matrix}

$p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot\phi^i}, \qquad \pi_{i\psi}=\frac{\partial L}{\partial\dot\psi^i}, \tag{10.207b}$

und kanonische Vertauschungsbeziehungen auferlegen

\begin{array}{rcl} (10.208) & [ϕ^{ich}, P_{J}] & = & ich δ_{J}^{ich}, \\ (10.209) & {ψ^{ich}, π_{ψ, J}} & = & δ_{J}^{ich} . \end{array}

$\begin{eqnarray} [\phi^i,p_j]&=&i\delta^i_j,\tag{10.208} \cr \{\psi^i,\pi_{\psi,j}\}&=&\delta^i_j.\tag{10.209}\end{eqnarray}$

Da ich dabei auf nicht triviale Ordnungsprobleme stoße, um die sich das Buch anscheinend nicht zu kümmern scheint, und darüber hinaus mit seiner quantisierten Version des konjugierten Impulses $\phi$ scheint mir falsch, sowie seine quantisiert $Q$ scheint nicht die richtigen Transformationen für die Felder zu reproduzieren, ich frage, ob jemand dies klären könnte.

Darüber hinaus sieht man in der Arbeit Constraints on supersymmetry breaking von Witten in der Nähe von Gl. (90), (91) scheint er zu behaupten, dass die korrekte Definition des konjugierten Impulses die Ableitung in Bezug auf die kovariante Ableitung anstelle der zeitlichen Ableitung ist, und dies ist eine andere Sache, die mich mit einigen Zweifeln zurücklässt.

--

Kommentar hinzugefügt: Ich sollte hinzufügen, dass Vafa in dem Buch auf Seite 184 einige Kommentare zur Reihenfolge der Operatoren macht, wenn auch in einem einfacheren Fall. Der Unterschied besteht hier darin, dass wir nach meinem Verständnis für eine Ordnung (auch in den susy-Transformationen selbst) zwischen sorgen müssen $p_i,$ $\phi^j$ $\psi^k$ Und $\overline\psi_m$ so dass die erhaltenen $Q$ 's erzeugen die Transformationen.

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Kanonische Quantisierung in der supersymmetrischen Quantenmechanik

QMechaniker · Answer 1

Abgesehen von der eigentlichen Berechnung, Überprüfung der Vorzeichenkonventionen usw. ist mein Eindruck wie folgt:

Auf klassischer Ebene die Definition des bosonischen kanonischen Impulses $p_i:=\frac{\partial L}{\partial\dot{\phi}^i}$ ist serienmäßig.
Das fermionische kanonische Momentum ist subtiler, da die Lagrange-Funktion für die Fermionen bereits in Form erster Ordnung vorliegt. Eine Konstruktion ist über das Standard-Dirac-Bergmann-Verfahren machbar, was zu Nebenbedingungen zweiter Klasse führt. Eine Abkürzung bietet das Faddeev-Jackiw-Verfahren. Ein einfaches anschauliches (bosonisches) Beispiel für diese beiden Methoden finden Sie z . B. in dieser Phys.SE-Antwort.
Im bosonischen Fall sollte man zwischen dem mechanischen/kinetischen Impuls (der ungefähr der Geschwindigkeit entspricht) und dem kanonischen/konjugierten Impuls unterscheiden. In der Schrödinger/Positionsdarstellung entspricht ersteres kovarianten Ableitungen, während letzteres partiellen Ableitungen entspricht. (Eine ähnliche Situation tritt für ein geladenes Teilchen in einem EM-Feld auf, wobei die Rolle der Christoffel-Symbole durch das EM-Eichpotential ersetzt wird, vgl. diese Phys.SE-Antwort.)
Beachten Sie insbesondere, dass der Kommutator zwischen zwei Bewegungsimpulsen im Allgemeinen nicht Null sein wird.
In Ref.-Nr. 1 Äquiv. (92) Witten setzt die kovariante Ableitung korrekt in die Superladungsformel ein, fährt dann aber unterhalb von Gl. (92) falsch/verwirrend auf die kovariante Ableitung als den konjugierten Impuls zu verweisen $\phi^i$ .
Ref. 2 vergisst, seine Leser darüber zu informieren, dass es in der Mitte die Bedeutung von geändert hat $p_i$ um nun die kovariante Ableitung zu bezeichnen, vgl. Gl. (10.217). Außerdem Ref. 2 bezieht sich fälschlicherweise/verwirrend auf das Neue $p_i$ da der konjugierte Impuls direkt über Gl. (10.210). Diese Fehler werden zweifellos durch die verwirrende Terminologie von Lit. 1.
Schließlich sollten auf der quantenmechanischen Ebene Operator-Ordnungsvorschriften so gewählt werden, dass Hermitizität und SUSY erhalten bleiben.

Verweise:

E. Witten, Constraints on Supersymmetry Breaking , Nucl. Phys B202 (1982) 253 .
K. Hori, S. Katz, A. Klemm, R. Pandharipande, R. Thomas, C. Vafa, R. Vakil und E. Zaslow, Mirror Symmetry, 2003. Die PDF-Datei ist hier verfügbar .
E. Witten, Supersymmetrie und Morsetheorie, J. Diff, Geom. 17, (1982) 661 ; Kapitel 2.

Außerdem sind sie in dem Buch zumindest nicht genau, wenn sie sagen, dass alle anderen (Anti-) Kommutatoren verschwinden, da die eigentliche kanonische Variable ist $\overline\psi_k$ so dass $[\overline\psi^i,p_m]$ verschwindet nicht
...Wenn $p_m$ bezeichnet den kinetischen bosonischen Impuls. Die Poisson-Klammer dazwischen $\overline{\psi}^i$ und der kanonische bosonische Impuls verschwindet tatsächlich.
Meinst du im dritten Kommentar oben nicht den Kommutator anstelle der Poisson-Klammer?
@Mtheorist: Ich habe Poisson-Klammern geschrieben, um zu betonen, dass die Konstruktion bereits auf klassischer Ebene Sinn macht. Natürlich macht es auch auf der Ebene der Quantenoperatoren Sinn, also steht es Ihnen frei, Poisson-Klammern durch Kommutatoren (geteilt durch $i\hbar$ ).
Hinweise für später: Art.-Nr. 1 Äquiv. (90) hat eine 1/8-Normierung vor dem Krümmungsterm, während Ref. 2 Äquiv. (10.198) hat 1/2. OP (v5) hat ein 1/4.
Hinweise für später: Art.-Nr. 1 Äquiv. (90) hat den Begriff $i\overline{\psi}^j D_t\psi_j=i\overline{\psi}_j D_t\psi^j$ während Ref. 2 Äquiv. (10.198) hat den entsprechenden symmetrisierten Term $\frac{i}{2}(\overline{\psi}_j D_t\psi^j-D_t\overline{\psi}^j\psi_j)$ . Sie sind bis auf eine Gesamtzeitableitung gleich. Der kanonische Lagrange-Impuls wird jedoch anders.
@Qmechanic Ich habe versucht, den konjugierten Impuls zu berechnen $\phi^i$ , aber was ich erhalten habe, enthält etwas mehr als das Einfache $g_{ij}\dot{\phi}^j$ (wegen der zeitlichen Ableitung in $D_t\psi$ ). Die Ref.[2] oben sagt, dass es keinen solchen zusätzlichen Begriff gibt. Weißt du, wo ich falsch liege? Danke!

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