N=4N=4{\cal N}=4 SYM in Bezug auf N=1N=1{\cal N}=1: Das SO(6)SO(6)SO(6) im Yukawa-Term

Question

N=4N=4{\cal N}=4 SYM in Bezug auf N=1N=1{\cal N}=1: Das SO(6)SO(6)SO(6) im Yukawa-Term

Physik
Supersymmetrie
Forschungsniveau
lagrangescher Formalismus
Superraum-Formalismus
Gruppendarstellungen

Benutzer43260

Ich versuche zu schreiben ${\cal N}=4$ SYM in Bezug auf ${\cal N}=1$ Superfelder. Ich habe den Lagrange

L = \frac{1}{16 k} \int D^{2} σ Tr [W^{A} W_{A}] + C . C + \int D^{4} θ Tr [{\bar{Φ}}^{ich} e^{v} Φ^{ich} e^{- v}] + \frac{\sqrt{2}}{3} \int D^{2} θ Tr [ϕ^{ich} [ϕ^{J}, ϕ^{k}]] ϵ_{ich J k} + C . C

$\mathcal{L}=\frac{1}{16 k} \int d^2 \sigma \text{Tr} \big[W^a W_a\big]+c.c+\int d^4\theta \text{Tr}\big[\bar{\Phi}^i e^V \Phi^i e^{-V}\big]+\frac{\sqrt{2}}{3}\int d^2\theta \text{Tr}\big[\phi^i [\phi^j,\phi^k]\big]\epsilon_{ijk}+c.c$

Bei dem die $\Phi^i$ sind chirale Superfelder und V ist ein Vektor-Superfeld. In Komponenten ist dies alles in Ordnung, mit Ausnahme der Yukawa-Begriffe

L \supset ich \sqrt{2} F^{A B C} Z_{A}^{ich †} ψ_{B}^{ich} λ_{C} - \sqrt{2} ϵ_{ich J k} Z_{A}^{ich} ψ_{B}^{J} ψ_{C}^{k} + C . C

$\mathcal{L} \supset i\sqrt{2} f^{ABC} Z^{i\dagger}_A \psi^i_B \lambda_C - \sqrt{2}\epsilon_{ijk} Z^i_A \psi^j_B \psi^k_C+c.c$

Wo $A,B,C$ , Sind $SU(N)$ Messgerätgruppenindizes, $i,j,k$ Nummer meine 3 chiralen Superfelder, die eine explizite haben $SU(3)$ Symmetrie, die $Z^i_A$ sind die komplexen Skalare meiner chiralen Superfelder, $\psi^i_A$ sind die Fermionen aus meinen chiralen Superfeldern und die $\lambda_A$ ist das Fermion aus meinem Vektor-Superfeld.

Die Fermionen verbinden sich zu einer Grundschwingung $SU(4)$ Multiplett $\chi^I=(\psi^i, \lambda)$ , und ich zerlege meine komplexen Skalare in reelle in einen Grundton $SO(6)$ (isomorph zu $SU(4)$ ) Multiplett, $Z^i=X^a+iX^{a+3}$ . Ich sollte in der Lage sein, die Yukawa-Begriffe als zu schreiben

L \supset F^{A B C} X_{A}^{A} C_{ICH J}^{A} χ^{ICH} χ^{J} + C . C

$\mathcal{L} \supset f^{ABC} X^a_A C^a_{IJ}\chi^I \chi^J +c.c$

Setzen Sie die Skalare im Wesentlichen in die antisymmetrische Matrixdarstellung von ein $SU(4)$ , $X_{IJ}=X_{[IJ]}=X^a_{IJ}X^a$ .

Also muss ich zeigen, dass die $C^a_{IJ}$ die ich habe, sind ein unveränderliches Symbol von $SO(6)=SU(4)$ , und somit hat mein Lagrange-Operator diese R-Symmetrie. Ich bin mir nicht sicher, wie das geht ... eine Referenz, die ich gefunden habe, besagt, dass sie mit dem verwandt sein sollten $SO(6)$ Gammamatrizen ( http://arxiv.org/abs/hep-th/0201253 , unter Gleichung 3.1), aber das war nicht sehr hilfreich.

Antworten (1)

N=4N=4{\cal N}=4 SYM in Bezug auf N=1N=1{\cal N}=1: Das SO(6)SO(6)SO(6) im Yukawa-Term

Stan · Answer 1

Diese Frage ist 2 Jahre alt, aber ich dachte, es ist nie zu spät. Ich bin mir nicht sicher über die definitive Antwort, aber hier sind meine Gedanken.

Nehmen Sie den Standpunkt der SO(6)-Algebra. Der $\mathbf{6}$ ist die fundamentale (Vektor-)Darstellung, und die $\mathbf{4}$ ist die Spinordarstellung. Wir suchen also nach Symbolen $\Sigma_{AB}^I$ die zwei Spinoren zu einem Vektor kombinieren.

Dies sieht analog zum üblichen SO(1,3)-Fall aus, wo $\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta}$ Wandeln Sie zwei Weyl-Spinoren in einen Vektor um. Schreiben Sie die Gammamatrizen in der Weyl-Basis

γ^{μ} = (\begin{matrix} 0 & σ^{μ} \\ {\bar{σ}}^{μ} & 0 \end{matrix})

$\gamma^\mu=\begin{pmatrix}0 & \sigma^\mu \\ \bar\sigma^\mu & 0\end{pmatrix}$ und Sie können die Sigmas ablesen.

Für SO(6) sollte es ähnlich sein. Schreiben Sie es $8\times 8$ Gamma-Matrizen $\hat\gamma^I$ in Weyl-Basis

{\hat{γ}}^{μ} = (\begin{matrix} 0 & Σ^{μ} \\ {\bar{Σ}}^{μ} & 0 \end{matrix})

$\hat\gamma^\mu=\begin{pmatrix}0 & \Sigma^\mu \\ \bar\Sigma^\mu & 0\end{pmatrix}$ und man sollte in der Lage sein, die Sigma-Symbole abzulesen.

Man findet eine explizite Konstruktion finden (aber beachte die Konventionen und die Signatur!), oder du kannst versuchen, die Gamma- und Sigma-Matrizen von Grund auf neu zu konstruieren.

Worüber ich mir nicht sicher bin, ist die Tatsache, dass im Fall von SO (1,3) die $\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta}$ einen linkshändigen und einen rechtshändigen Spinorindex haben, sollte dies wahrscheinlich auch für SO(6) gelten, also wäre ich versucht zu schreiben $\Sigma^i_{A\dot B}$ , aber in der Kontraktion in Ihrem Beispiel $\Sigma^I$ ist mit zwei Spinoren gleicher Chiralität kontrahiert.

Bearbeiten

Eine Ergänzung zu dem, was ich im letzten Absatz gesagt habe: In SO(4) (also nehme ich auch in SO(1,3) an) sind die links- und rechtshändigen Spinoren die $\mathbf{2}=[1,0]$ und das $\mathbf{\bar{2}}=[0,1]$ , ihr Tensorprodukt ergibt den Vektor: $\mathbf{2}\otimes\mathbf{\bar{2}}=\mathbf{4}$ , wie erwartet.

In SO(6) scheint es etwas anders zu sein: Der Spinor ist der $\mathbf{4}=[0,1,0]$ , und es gibt auch die $\mathbf{\bar{4}}=[0,0,1]$ , was vermutlich der andere Chiralitätsspinor ist. Aber der Unterschied ist, dass im Gegensatz zu $SO(4)$ , Hier $\mathbf{4}\otimes\mathbf{\bar{4}}=\mathbf{1}\oplus\mathbf{15}$ , also die $\mathbf{4}$ und das $\mathbf{\bar{4}}$ kann nicht zu einem Vektor kombiniert werden. Stattdessen, $\mathbf{4}\otimes\mathbf{4}=\mathbf{6}\oplus\mathbf{10}$ Und $\mathbf{\bar{4}}\otimes\mathbf{\bar{4}}=\mathbf{6}\oplus\mathbf{\bar{10}}$ , um den Vektor zu erhalten, muss man also wirklich zwei Spinoren mit derselben Chiralität kombinieren.

N=4N=4{\cal N}=4 SYM in Bezug auf N=1N=1{\cal N}=1: Das SO(6)SO(6)SO(6) im Yukawa-Term

Benutzer43260

Antworten (1)

Stan

Fayet-Iliopoulos-Begriffe

Kanonische Quantisierung in der supersymmetrischen Quantenmechanik

Kähler-Potenzial vs. volles effektives Potenzial

Supergravitationswirkung als Gesamtintegral, über 4 Raumzeit- und 4 Grassmann-Koordinaten

Gibt es in SUSY zwei Arten von D-Termen und zwei Arten von F-Termen?

Eindeutigkeit der supersymmetrischen heterotischen Stringtheorie

Gibt es SUSY-Lagrange-Terme, die weder D-Term noch F-Term sind?

S-Matrix in N=4N=4\mathcal{N}=4 Super-Yang-Mühlen

Werte von SM-Parametern auf einer bestimmten Skala

Katz und Vafas Arbeit an der F-Theorie