Eindeutigkeit der supersymmetrischen heterotischen Stringtheorie

Normalerweise sagen wir, dass es zwei Arten von heterotischen Strings gibt, nämlich E 8 × E 8 und S p ich n ( 32 ) / Z 2 . (Vergessen wir vorerst nicht-supersymmetrische heterotische Strings.)

Das Standardargument lautet wie folgt.

  1. Um eine supersymmetrische heterotische Stringtheorie in 10d zu haben, müssen Sie eine chirale CFT mit zentraler Ladung 16 verwenden, so dass ihr Charakter Z erfüllt zwei Bedingungen:

    1. Z ( − 1 / τ ) = Z ( τ )
    2. Z ( τ + 1 ) = exp ⁡ ( 2 π ich / 3 ) Z ( τ )

  2. Eine solche chirale CFT benötigt, wenn wir die Gitterkonstruktion verwenden , ein gerades selbstduales Gitter vom Rang 16.

  3. Es gibt nur zwei solcher Gitter, die den beiden bereits oben erwähnten entsprechen.

Wir können die Gitterkonstruktion durch eine Konstruktion mit freien Fermionen ersetzen und erhalten immer noch das gleiche Ergebnis. Aber mathematisch gesehen könnte es immer noch eine chirale CFT der zentralen Ladung 16 mit der richtigen Eigenschaft geben, oder? Wird es irgendwo studiert?

Du meinst Rang 16.
Ja tut mir leid. Ich habe es aktualisiert.

Antworten (2)

Es gibt viele chirale CFTs mit zentraler Ladung 16 und guten Eigenschaften, die in der Mathematikliteratur untersucht wurden. Ein schönes Beispiel in diesem Zusammenhang wären chirale Differentialoperatoren auf einer 8er-Mannigfaltigkeit. Wenn Sie eine Modularität des Zeichens wünschen, so dass Sie eine holomorphe Scheitelpunktalgebra wünschen, dann ist die Referenz

"Holomorphe Scheitelpunktoperatoralgebren mit kleiner zentraler Ladung" Dong und Mason. Pacific Journal of Mathematics. Band 213 (2) 2004.

wie in den Kommentaren und in Lubos Antwort besprochen.

Erfüllen sie die erforderlichen spezifischen "schönen Eigenschaften", um eine heterotische Zeichenfolge zu konstruieren?
Ich bin mir nicht sicher, was diese "netten Eigenschaften" sind, das einzige, was ich Ihnen im Allgemeinen sagen kann, ist, dass ihr Charakter Ihnen die Gattung Witten geben wird, dies hängt mit Ihrer Frage zu MO zusammen
Vielleicht habe ich nicht genug Privilegien, um die Antwort von Lubos zu kommentieren, aber c = 24k ist definitiv nicht erforderlich: Jede C2-cofinite Scheitelpunktalgebra führt zu einer modularen Invarianz des Charakters (vgl. Zhu). Was Lubos behauptet, dass dies der Fall ist nur modular-invariante CFTs mit zentraler Ladung 8, was ebenfalls nicht wahr ist, jedes Dynkin-Gitter mit Rang 8 wird zu modularen invarianten Charakteren führen, und chirale Differentialoperatoren, wie ich erwähnt habe, führen zur Gattung Witten, die ebenfalls modulare Eigenschaften hat.
Bearbeiten: Ich glaube, ich habe Lubos 'Kommentar missverstanden. Wenn Sie anstelle einer modularen Form eine modulare Funktion wollen, dann wollen Sie eine Scheitelpunktalgebra mit nur einer Darstellung. In diesem Fall denke ich, dass es eine solche Klassifizierung gibt.
Die Referenz, die Yuji in Lubos Antwort fragt, ist. "Holomorphe Scheitelpunktoperatoralgebren mit kleiner zentraler Ladung" Dong und Mason. Pacific Journal of Mathematics. Band 213 (2) 2004.
Ah, Danke. Könnten Sie Ihre Antwort entsprechend bearbeiten (Entschuldigung für meinen Fehler in meiner ursprünglichen Frage)? Ich nehme deine sofort an.
@Yuji, deine Frage bezieht sich immer noch auf den Rang des Gitters von 8.

Ich denke, dass die beiden Lösungen die einzigen modular-invarianten chiralen CFTs mit der richtigen zentralen Ladung sind. Sie haben das Recht Umwandlungsgesetz unter τ → τ + 1 und vor allem (und weniger trivial) τ → − 1 / τ wo τ ist die komplexe Struktur des Weltblatttorus. Dies ist für eine konsistente Pfadintegralinterpretation der Geschichten und für die Einheitlichkeit erforderlich, wenn sie als Teil der Stringtheorie verwendet wird.

Brauchen Sie nicht c=24k für modulare Invarianz?
Und könnten Sie mir vorschlagen, wo gezeigt wird, dass diese beiden Lösungen einzigartig sind? Das war meine Frage.
Hallo @Yuji: Lassen Sie mich einfach Reimundos Referenz kopieren. Das Papier ist hier vollständig verfügbar: pjm.berkeley.edu/pjm/2004/213-2/pjm-v213-n2-p05-s.pdf
Betreffend c = 24 k , ja, es wird gebraucht, aber man muss was aufpassen c ist. Es ist das c der Gesamttheorie, die in der vollständigen Weltblatttheorie wirklich 0 ist, sobald die Geister hinzugefügt werden. Beachten Sie, dass b c Geister haben c = − 26 und die b c Plus β γ superkonforme Geister haben c = − fünfzehn , Aufhebung von 10 Bosonen plus 10 Fermionen (entspricht 15 Bosonen ' c ). Beim Lichtkegel ist die Zählung anders: 24 Bosonen im Bosonenstring sind OK, aber 8 Bosonen plus 8 Fermionen im Superstring sind auch OK - c = 12 irgendwie.
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