Kähler-Potenzial vs. volles effektives Potenzial

Question

Kähler-Potenzial vs. volles effektives Potenzial

Physik
Supersymmetrie
Forschungsniveau
Quantenfeldtheorie
Superraum-Formalismus

Simon

Bei der Bewertung der Vakuumstruktur von Quantenfeldtheorien müssen Sie die Minima des effektiven Potentials finden, einschließlich störender und nicht störender Korrekturen, wo möglich.

In supersymmetrischen Theorien sehen Sie oft die Behauptung, dass das Kähler-Potential die geeignete interessierende Größe ist (da das Superpotential keine Quantenkorrekturen erhält). Betrachten wir der Einfachheit halber nur den Fall eines einzelnen chiralen Superfelds: $\Phi(x,\theta)=\phi(x)+\theta^\alpha\psi_\alpha(x) + \theta^2 f(x)$ und sein komplexes Konjugat. Das Niedrigenergie-Aktionsfunktional, das das Kähler- und das Superpotential enthält, ist

S [\bar{Φ}, Φ] = \int d^{8} z K (\bar{Φ}, Φ) + \int d^{6} z W (Φ) + \int d^{6} \bar{z} \bar{W} (\bar{Φ})

$S[\bar\Phi,\Phi] = \int\!\!\!\mathrm{d}^8z\;K(\bar\Phi,\Phi) + \int\!\!\!\mathrm{d}^6z\;W(\Phi) + \int\!\!\!\mathrm{d}^6\bar{z}\;\bar{W}(\bar\Phi)$ Behalten Sie nur die skalaren Felder und keine Raumzeitableitungen bei, die Komponenten sind

\begin{aligned} S [\bar{Φ}, Φ] |_{eff.pot.} = & \int d^{4} x (\bar{f} f \frac{\partial^{2} K (\bar{ϕ}, ϕ)}{\partial ϕ \partial \bar{ϕ}} + f W^{'} (ϕ) + \bar{f} W (ϕ)) \\ \overset{f \to f (ϕ)}{\to} - & \int d^{4} x (\frac{\partial^{2} K (\bar{ϕ}, ϕ)}{\partial ϕ \partial \bar{ϕ}})^{- 1} | W^{'} (ϕ) |^{2} =: - \int d^{4} x v (\bar{ϕ}, ϕ) \end{aligned}

$\begin{align} S[\bar\Phi,\Phi]\big|_{\text{eff.pot.}} = &\int\!\!\!\mathrm{d}^4x\Big(\bar{f}f\,\frac{\partial^2K(\bar\phi,\phi)}{\partial\phi\partial{\bar\phi}} + f\,W'(\phi) + \bar{f}\, W(\phi)\Big) \\ \xrightarrow{f\to f(\phi)} -\!&\int\!\!\!\mathrm{d}^4x\Big(\frac{\partial^2K(\bar\phi,\phi)}{\partial\phi\partial{\bar\phi}}\Big)^{-1}|W'(\phi)|^2 =: -\!\int\!\!\!\mathrm{d}^4x \ V(\bar\phi,\phi) \end{align}$ wobei wir in der zweiten Zeile die (einfachen) Bewegungsgleichungen für das Hilfsfeld lösen. Die Vakua sind dann die Minuma des effektiven Potentials

V (\bar{ϕ}, ϕ)

$V(\bar\phi,\phi)$ .

Wenn Sie jedoch die alte ( bis Mitte der 80er Jahre) Literatur über Supersymmetrie lesen , berechnen sie das effektive Potential unter Verwendung aller Skalare in der Theorie, dh das effektive Potential vom Coleman-Weinberg-Typ unter Verwendung der Hintergrund-/externen Felder $\Phi(x,\theta)=\phi(x) + \theta^2 f(x)$ . Dies führt zu einem wirksamen Potenzial $U(\bar\phi,\phi,\bar{f},f)$ was in den Hilfsfeldern mehr als quadratisch ist, also eindeutig nicht gleichbedeutend mit der Berechnung nur des Kähler-Potentials. Das äquivalente Superfeld-Objekt ist das Kähler-Potential + das Potential der Hilfsfelder , wie in „ Supersymmetrisches effektives Potential: Superfeld-Ansatz “ (oder hier ) definiert. Es kann geschrieben werden als

S [\bar{Φ}, Φ] = \int d^{8} z (K (\bar{Φ}, Φ) + F (\bar{Φ}, Φ, D^{2} Φ, {\bar{D}}^{2} \bar{Φ})) + \int d^{6} z W (Φ) + \int d^{6} \bar{z} \bar{W} (\bar{Φ})

$S[\bar\Phi,\Phi] = \int\!\!\!\mathrm{d}^8z\;\big(K(\bar\Phi,\Phi) + F(\bar\Phi,\Phi,D^2\Phi,\bar{D}^2\bar{\Phi})\big) + \int\!\!\!\mathrm{d}^6z\;W(\Phi) + \int\!\!\!\mathrm{d}^6\bar{z}\;\bar{W}(\bar\Phi)$ wo

F (\bar{Φ}, Φ, D^{2} Φ, {\bar{D}}^{2} \bar{Φ})

$F(\bar\Phi,\Phi,D^2\Phi,\bar{D}^2\bar{\Phi})$ ist mindestens Kubikzoll

D^{2} Φ, {\bar{D}}^{2} \bar{Φ}

$D^2\Phi,\bar{D}^2\bar{\Phi}$ . Die Projektion des Obigen auf skalare Komponenten mit niedriger Energie ergibt das effektive Potential

U (\bar{ϕ}, ϕ, \bar{f}, f)

$U(\bar\phi,\phi,\bar{f},f)$ das ist in den Hilfskörpern im Allgemeinen nicht-polynomial und daher deutlich schwieriger zu berechnen und damit zu arbeiten als das oben angegebene quadratische Ergebnis.

Meine Frage lautet also : Wann erfolgte diese Umstellung auf die Berechnung nur des Kähler-Potentials und gibt es einen guten Grund, warum Sie die Korrekturen höherer Ordnung in den Hilfsfeldern ignorieren können?

Antworten (2)

Kähler-Potenzial vs. volles effektives Potenzial

Zohar Ko · Answer 1

Tatsächlich hat Ihre Frage nichts mit der Unterscheidung zwischen 1PI und Wilsonian zu tun. Die Antwort ist, dass die Terme, die eine nichttriviale Abhängigkeit enthalten, von $D^2\Phi$ fallen zu lassen, wenn die Supersymmetriebrechung klein gegenüber der natürlichen ("supersymmetrischen") Massenskala im Problem ist. Sie können dies daran erkennen, dass das effektive Potenzial die Form haben muss $f^2 F(f/M^2)$ wo $f$ ist die SUSY Bruchskala und $M$ ist eine supersymmetrische Skala (die auch den VEV eines bestimmten Moduls kann). Eine andere Möglichkeit, dies zu sehen, sind Terme mit mehr Potenzen von $D^2\Phi$ haben eine höhere technische Dimension und müssen daher durch eine SUSY-Skala geteilt werden, sodass ihre Wirkung als f / M ^ 2 -> 0 verschwindet.

In einigen physikalischen Szenarien könnten diese Korrekturen wichtig sein, aber da in dynamischen Modellen eine rigorose Kontrolle über die Physik normalerweise mit einem SUSY-Brechen als kleinem Effekt einhergeht, werden diese Begriffe in den meisten Literaturstellen gestrichen.

Danke Zohar, das klingt alles ziemlich vernünftig! Kennen Sie die Referenz, wo diese Art der Argumentation zuerst angewendet wurde? Oder eine kanonische Referenz dafür?
Diese Argumentation ist wahrscheinlich so alt wie die Erkenntnis, dass SUSY gebrochen werden kann. Anstatt Sie auf geheimnisvolle Berechnungen von vor drei Jahrzehnten zu verweisen, würde ich Ihnen empfehlen, einen Blick auf Anhang A.5 zu werfen. von hep-th/0602239. Sie untersuchen die effektive Wirkung aufgrund einiger massiver Felder, die integriert sind, und zeigen dies in führender Ordnung (dh $|f|^2$ ) kann das effektive Potential ordentlich in ein K\"ahler-Potential verpackt werden. Sie betonen auch die Existenz von Korrekturen höherer Ordnung (höherer Ordnung in $f$ ), die vom effektiven K\"ahler-Potential nicht erfasst werden.
Wenn Sie auch daran interessiert sind, die Spuren dieser Berechnung nachzuvollziehen, sollten Sie einen Blick auf hep-th/9605149 werfen...
Willkommen, Zohar, und danke für deinen Beitrag. Ich hoffe, dass dies mit der Zeit ein wirklich nützlicher Ort für unsere Community wird, also freue ich mich jedes Mal, wenn ich ein bekanntes Gesicht sehe ...
Zohar: Die Tatsache, dass die führende Reihenfolge den Pot einbringt $|f|^2$ in ein Kähler-Potenzial verpackt werden kann, erscheint irgendwie trivial. Aber ich stimme Ihnen und ISS zu, dass es wahrscheinlich genug ist, um ein kleines Susy zu brechen. Ich denke, dass dies in Kombination mit Rechenschwierigkeiten die gängige Praxis motiviert, das volle effektive Potenzial zu ignorieren.
Ob die Korrekturen in $f^2$ ignoriert werden sollten, ist modellabhängig und die bloße Tatsache, dass sie möglicherweise schwieriger zu berechnen sind, rechtfertigt nicht an sich, sie zu ignorieren (und übrigens ist bei einer Schleife nichts schwierig, nicht einmal diese Korrekturen richtig zu machen).

David Bar Mosche · Answer 2

Es gibt zwei Arten effektiver Wirkungen, die Ein-Teilchen-Irreduzible (1PI) (Coleman-Weinberg) und die Wilsonsche.

Die Variablen im 1PI sind die Vakuumkondensationen der Felder, dh es ist "klassisch". Im Prinzip wird es berechnet, indem das Pfadintegral mit Quellen durchgeführt wird und dann die Quellen durch die Vakuumkondensate durch eine Legendre-Transformation ersetzt werden. Diese Aktion umfasst alle Quantenkorrekturen der Theorie, und ihr potenzieller Begriff bestimmt ihre Vakua. Diese Aktion muss nicht lokal sein. In der Praxis kann diese Wirkung nur näherungsweise durch Schleifenexpansion berechnet werden, und ihre Expansion leidet unter IR-Divergenzen im Fall masseloser Felder.

Die zweite Art effektiver Aktion ist die Wilsonsche effektive Aktion, bei der die Energiemodi über einen bestimmten Maßstab hinaus integriert sind. Die grundlegenden Variablen sind hier die Niederenergiemoden der Felder. Diese Aktion ist quantenmechanisch in dem Sinne, dass sie die Strahlungskorrekturen der Niedrigenergiemoden nicht beinhaltet und dennoch das Pfadintegral auf ihnen durchgeführt werden muss. Diese Aktion ist lokal und leidet nicht unter IR-Divergenzen, aus diesen Gründen wird sie in Supersymmetriebrechungsberechnungen verwendet. Bitte beachten Sie die folgende Rezension von Tanedo (und die darin enthaltenen Referenzen), in der die Unterscheidung zwischen den beiden Arten effektiver Aktionen im Kontext der Supersymmetrie beschrieben wird.

Nun, in Bezug auf die Berechnung im ersten Absatz der Frage, wenn das Kahler-Potential auf "Baumebene" verwendet wird, ist es nur eine Berechnung des Skalarpotentials des Baums.

Danke, David, aber ich bin mir nicht sicher, wie die effektiven Aktionen von 1PI vs. Wilsonian meine Frage beantworten. Es könnte sein, aber es ist nicht offensichtlich ... Sogar Schleifenberechnungen scheinen sich jetzt nur auf das Kähler-Potential zu konzentrieren und zu behaupten, dass es das SUSY-Analogon des effektiven Coleman-Weinberg-Potentials ist oder dass "Kähler-Potential, das Superpotential und die Eichkinetikfunktion" kodieren Sie alle Informationen über die Niedrigenergie-Wirkung . (Durch einen seltsamen Zufall habe ich letzte Nacht Flips „Seibergology“-Rezension heruntergeladen – ich habe noch nicht alles gelesen!)
@David, ich konnte deine These „Geometric quantization on Kählerian systems“ online nicht finden. Könnten Sie mir bitte eine Kopie schicken?
@ Arnold Neumaier. Vielen Dank für das Interesse. Derzeit habe ich keine elektronische Kopie. Dann war ich sehr konzentriert in meiner Arbeit und es war mir egal, Latex oder irgendetwas anderes zu lernen, das mit Computern zu tun hat. Obwohl die Diplomarbeit von einem Freund in Latex geschrieben wurde, habe ich die Gleichungen manuell eingefügt. Ich habe eine gedruckte Kopie, die ich scannen und senden kann. Bitte geben Sie mir etwas Zeit, um zu sehen, was ich tun kann.
(Forts.) Das Hauptthema der Dissertation ist die Ausnutzung der Kaehler-Geometrie koadjungierter Bahnen von halbeinfachen Lie-Gruppen. Mein verstorbener Doktorvater Sehr geehrter Herr Prof. Dr. Michael Marinov gelang es, einige der in der Dissertation enthaltenen gemeinsamen Arbeiten zu veröffentlichen, aber die Dissertation enthält mehr unveröffentlichte Arbeiten. Nochmals vielen Dank für das Interesse und ich werde sehen, was ich tun kann.
Vielen Dank. Eine gescannte Kopie ist in Ordnung. -- Ich kannte den Titel Ihrer Doktorarbeit aus diesen Papieren mit Marinov. Ich interessiere mich für den nicht kompakten Fall, für den Sie auf die Diplomarbeit verwiesen haben.

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