Kerr-Geometrie, Trennbarkeit und Twistors

Die Beziehung zu Twistoren folgt, indem eine weitere Quadratwurzel aus Urs' Antwort gezogen wird.

Wenn$(M^n,g)$ist ein$n$-dimensionaler Spinmannigfaltigkeit mit Spinorbündel$S$, haben wir einen natürlichen konform-invarianten Operator$P: \Omega^1(S) \to C^\infty(S)$, wo$C^\infty(S)$sind die glatten Abschnitte von$S$(dh glatte Spinorfelder) und$\Omega^1(S)$sind die glatten 1-Formen an$M$mit Werten drin$S$. Der Betreiber$P$ist der "gammaspurlose" Teil der Spinverbindung. Mit anderen Worten, wenn$X$ein beliebiges Vektorfeld ist und$\psi$irgendein Spinorfeld, man hat

$$P_X \psi = \nabla_X \psi + \frac1n X \cdot D \psi~,$$ wo $D$ist der Dirac-Operator und $X \cdot$bedeutet Clifford-Produkt. Relativ zu einer Basis und unter Verwendung der Konventionen $\Gamma_a \Gamma_b + \Gamma_b \Gamma_a = - 2 \eta_{ab} \mathbf{1}$, hat man $$P_a = \nabla_a + \frac1n \Gamma_a D~.$$ Der Gamma-Traceless-Zustand ist genau richtig $\Gamma^aP_a = 0$.

Jetzt ein Spinorfeld$\psi$befriedigend$P_a \psi = 0$wird ein Twistor oder ein konformes Killing -Spinor-Feld genannt.$P$ist ein konform invarianter Operator, womit sich Twister in zwei konform verwandten Spin-Mannigfaltigkeiten entsprechen.

Wenn$\psi_1$und$\psi_2$sind Twistor-Spinoren (nicht notwendigerweise verschieden) ihr Tensorprodukt$\psi_1 \otimes \psi_2$ist eine Linearkombination von Differential$p$-Formen

$$\psi_1 \otimes \psi_2 = \sum_p \omega_p$$ wobei je nach Signatur/Dimension der Raumzeit nur einige $p$Kann erscheinen.

Der Punkt ist, dass die$\omega_p$sind (spezielle) konforme Killing-Formen, die quadriert werden können, um die Killing-Yano-Tensoren in Urs 'Antwort zu bilden.

Vielleicht ist eine gute Referenz §6.7 in Band II von Spinors and Spacetime von Penrose und Rindler. Es gibt einen Abschnitt genau über das Kerr-Schwarze Loch.

Der höherrangige Tensor, an den Sie denken, wird als (konformer) Killing-Yano-Tensor bezeichnet .

Dies sind schiefsymmetrische Tensoren (Differentialformen), die in einem geeigneten Sinne kovariant konstant sind und als "Quadratwurzeln" des Killing-Tensors dienen, in direkter Analogie dazu, wie ein Vielbein als Quadratwurzel für eine Metrik dient (das ist die kanonische Rang-2 Tötungstensor).

Für jeden Killing-Tensor auf einer Raumzeit hat das relativistische Teilchen , das sich auf dieser Mannigfaltigkeit ausbreitet, eine zusätzliche Erhaltungsgröße. (Für die Metrik selbst ist dies ihr Hamiltonoperator). Für jede Verfeinerung eines Killing-Tensors zum Quadrat eines Killing-Yano-Tensors hat auch das rotierende Teilchen oder Superteilchen eine zusätzliche ungerade Erhaltungsgröße (im Fall der Metrik ist dies eine zusätzliche Weltlinien-Supersymmetrie, ein zusätzlicher Dirac-Operator).

Analogien zu all dem gelten für den Fall "konformer" Killing-Yano-Tensoren. Die Kerr-Raumzeit gibt das bekanntlich zu.

Siehe zum Beispiel

Jacek Jezierski, Maciej Łukasik, Konformer Yano-Killing-Tensor für die Kerr-Metrik und Erhaltungsgrößen ( arXiv:gr-qc/0510058 ),

wobei der Bezug zur Twistorgeometrie kurz auf S. 4, zusammen mit einer Reihe von Referenzen.