Kirchhoffs Beugungsformel unter Verwendung der De Broglie-Wellenlänge von Elektronen

Ja! Kirchhoffs Beugungstheorie lässt sich tatsächlich sowohl auf Licht- als auch auf Materiewellen anwenden. Das ursprüngliche Ergebnis, auf das Sie sich beziehen, kann aus einer Skalartheorie abgeleitet werden, und wir haben wie üblich

$$\Psi(r') = \frac{1}{4\pi}\iint_S \left[ \Psi(r_S)e_n \cdot \nabla \frac{e^{ik|r_S-r'|}}{|r_S-r'|} - \frac{e^{ik|r_S-r'|}}{|r_S-r'|}e_n \cdot \nabla \Psi(r-S)\right]d^2r_S$$

was eine exakte Lösung ergibt, wenn der Wert der Lösung auf einer Grenzfläche gegeben ist$S$. Ich rate Ihnen jetzt, dieses Papier zu lesen , das eine Ableitung des Analogons aus der Dirac-Gleichung zeigt.

Das Endergebnis wird uns geben,

$$\Psi(r') = -\frac{ik}{4\pi}\iint_S \frac{e^{ik|r_S-r'|}}{|r_S-r'|} \left[1- \left( 1+\frac{i}{ks}\right)\gamma^j (\partial_js) \right]\gamma^n \Psi(r_s)\, d^2r_S$$

Wo$\Psi$ist stattdessen ein Dirac-Spinor, und es werden viele neue Notationen eingeführt; Zum Beispiel$\gamma$hier sind die üblichen Gammamatrizen nicht ganz befriedigend$\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}\mathbb{1}$.

Das Analogon zum Nachdenken$\Psi(r) = \frac{e^{ikr}}{r}$im klassischen Wellenfall, der auf diese aus der Dirac-Gleichung abgeleitete Formel angewendet wird, wird zeigen, dass wir für einen Dirac-Spinor erwarten:

$$\Psi(r') \propto \iint \frac{e^{ik(r_0+s)}}{r_0 s}(1+\gamma^3) \gamma^3 \Psi(r_s)\, dS$$

bestimmten Randbedingungen unterliegen.