Können ruhende Teilchen Wellencharakter haben?

In der Quantenmechanik können Teilchen aufgrund des Heisenbergschen Unbestimmtheitsprinzips nicht in absoluter Ruhe sein. Ein quantenmechanisches Teilchen ist weder eine klassische Welle noch ein klassisches Teilchen. Die Frage sollte lauten, ob es seine Teilchennatur oder seine Wellennatur manifestiert, und das hängt davon ab, wie man es untersucht.

Ich denke, die vorherigen Antworten übertragen das klassische Konzept des "ruhenden Teilchens" viel zu wörtlich auf die quantenmechanische Domäne.

Wenn wir uns ein "ruhendes quantenmechanisches Teilchen" als eines vorstellen

a) ist konzeptionell äquivalent zu einem klassischen Punktteilchen und ist daher vollständig an einem einzigen Punkt im Raum lokalisiert,$\langle x\rangle = x_0$Und$\langle \Delta x^2 \rangle = 0$,

Und

b) hat relativ zum betrachteten Rahmen genau keinen Impuls,$\langle p \rangle = 0$Und$\langle \Delta p^2 \rangle = 0$,

dann geraten wir offensichtlich sofort in Konflikt mit dem Unsicherheitsprinzip, wie die anderen Antworten bereits bemerkt haben ($\langle \Delta x^2 \rangle \langle \Delta p^2 \rangle = 0 < \hbar$).

Wenn wir jedoch auf die Spezifikation "Punktteilchen" verzichten und die 1. Aussage als im Quantenkontext völlig unanwendbar entfernen, können wir die 2. Aussage oben auf die folgende akzeptable Definition in Bezug auf Durchschnittswerte lockern:

"Man sagt, dass ein freies Teilchen in einem Trägheitssystem ruht, in dem sein durchschnittlicher relativer Impuls null ist."

Im nichtrelativistischen Limes bedeutet dies, dass sich die mittlere Position nicht ändert (freies Teilchen!), da$\langle {\vec p} \rangle = 0$impliziert

Hinweis : Für relativistische Teilchen wird das Definieren eines gut erzogenen Positionsoperators zu einem Problem, aber das Definieren eines "Ruherahmens" in Bezug auf einen durchschnittlichen Impuls von Null funktioniert gut.

Klassischerweise haben Teilchen im "Ruhezustand" aufgrund ihrer Ruhemasse eine Ruheenergie, E = mc^2, und Sie können dieser Energie eine Frequenz f zuordnen durch E = (hbar)*f sowie eine zugehörige Wellenlänge, bekannt als Compton-Wellenlänge.

Quantenmechanisch jedoch ist die Vorstellung, dass ein Teilchen "in Ruhe ist", aufgrund des Unschärfeprinzips fast bedeutungslos. Genauer gesagt wäre die Wellenfunktion eines ruhenden Teilchens eine Dirac-Delta-Funktion, die nach der Fourier-Analyse ein Integral (oder eine Überlagerung, wenn Sie möchten) von Impuls-Eigenzuständen ist, von denen jeder mit der gleichen Amplitude und beiträgt das Integral geht über den ganzen Impulsraum.

Also ja, theoretisch haben ruhende Teilchen eine Wellennatur, als Überlagerung von gleich beitragenden Impuls-Eigenzuständen (exp(ikx)) über den gesamten Impulsbereich. Aber Sie sehen, dass ein solcher Fall eine unendliche Unsicherheit in den Impuls des Teilchens bringt.

In der Quantenmechanik begegnen wir dem Konzept eines „ruhenden“ Teilchens beim Studium der Dirac-Gleichung (wenn wir uns in das Ruhesystem des Elektrons umwandeln). Betrachten wir der Einfachheit halber eine einzelne räumliche Dimension. Die Wellenfunktion eines "ruhenden" Teilchens kann gegeben sein durch$\Psi(x,t)=Ae^{-\frac{iEt}{\hbar}}$. Das Teilchen hat eine Geschwindigkeit von Null (oder besser gesagt einen Impuls von Null):$\hat p\Psi = -i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial x}=-i\hbar(0)=0$. Es hat eine Gesamtenergie gleich seiner Ruheenergie$E=mc^2$. Das Teilchen befindet sich an Position$x$:$\hat x\Psi=xAe^{-\frac{iEt}{\hbar}}=x\Psi$, Wo$-\infty < x < +\infty$.

Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an jeder Position zu finden, ist einheitlich. Offensichtlich ist die Wellenfunktion nicht normierbar:$\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x)|^2dx=A^2\int_{-\infty}^{\infty}dx \rightarrow \infty$. Daher scheint es auf den ersten Blick, dass wir nicht einmal mit Sicherheit eine Wellenfunktion konstruieren können, die einem einzelnen "ruhenden" Teilchen entsprechen würde (allgemeiner wäre dies ein freies Teilchen mit einem beliebigen konstanten Impuls ) .$p$). Dies ist jedoch nicht wahr. In diesem speziellen Fall hat der scheinbare Fehler damit zu tun, dass wir Koordinaten (kartesisch) mit unendlicher Ausdehnung in einer Raumrichtung gewählt haben.

Wir können es besser machen, indem wir den Konfigurationsraum um einen endlichen Ring oder Kreis wickeln$S^1$des Radius$R$. Zum Beispiel ein freies Teilchen in einem Radiusring$R$im Grundzustand$n=0$hat eine Wellenfunktion$\Psi(\theta,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\omega t}$. Diese hingegen ist normierbar:$\int_{0}^{2\pi}|\Psi(\theta)|^2d\theta=\left. \frac{\theta}{2\pi} \right|^{2\pi}_0=1$. Beachten Sie, dass das Teilchen "in Ruhe" ist:$\hat L_z\Psi=-i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial\theta}=-i\hbar(0)=0$. Finden des Teilchens an beliebiger Stelle$\theta$im Ring ist gleichwahrscheinlich.

Wir qualifizieren ein Teilchen als "in Ruhe", indem wir sagen, dass es sich an einer Position befindet$q$mit einer Geschwindigkeit (oder Impuls)$p=0$. In der Quantenmechanik neigen solche Aussagen dazu, Alarm zu schlagen, da Operatoren, die mit den Observablen Position und Impuls verbunden sind, nicht pendeln$[\hat p,\hat q]\neq 0$, daher können diese Größen nicht gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit gemessen werden.

Die Tatsache, dass wir die genaue Position des Teilchens vor einer Messung nicht kennen, bedeutet jedoch nicht, dass wir nicht sagen können, dass es „in Ruhe“ ist. Für ein solches System (wie oben) jede Messung, bei der wir das Teilchen an Position lokalisieren$q$wird einem Zustand bestimmter Dynamik entsprechen$p=0$. Es ist nur so, dass die statistische Verteilung der Positionsmessungen gleichmäßig verteilt ist und genau dem Normquadrat der Wellenfunktion entspricht.