λ=2hpλ=2hp\lambda=\frac{2h}{p} statt λ=hpλ=hp\lambda=\frac{h}{p}?

I) Man muss zwischen der Gruppengeschwindigkeit unterscheiden

$$v_g~=~\frac{\partial E}{\partial p}~=~v,$$

und die Phasengeschwindigkeit

$$v_p~=~\frac{E}{p}~=~\left\{ \begin{array}{cl} \frac{v}{2} & \text{in non-rel. QM (Schr. eq.) where}~ E~=~ \frac{p^2}{2m}, \cr \frac{c^2}{v}& \text{in rel. QM, QFT (Dirac eq., KG. eq.) where}~ E~=~ \sqrt{(pc)^2+(m_0 c^2)^2}. \end{array}\right.$$

einer Materiewelle. (Siehe auch die Wikipedia-Seite über die de Broglie-Beziehungen . Die Phasengeschwindigkeit$v_p$ist empfindlich dafür, wo man die Null der Energieskala setzt. In nichtrelativistischen Theorien arbeitet man meist mit der kinetischen Energie (=Gesamtenergie minus Ruheenergie). Für eine Reduktion von Klein-Gordon Gl. nach Schrödinger Gl., siehe zB A. Zee, QFT in a Nutshell, Kap. III.5 und dieser Phys.SE-Beitrag.)

II) Die Antwort auf die Frage von OP (v4) lautet also, dass seine erste Beziehung korrekt ist, seine zweite Beziehung sollte lauten

$$v_p~=~\lambda f,$$

und im relativistischen Fall sollte die kinetische Energie in seiner dritten Beziehung durch die Gesamtenergie ersetzt werden.

Diese Geschichte beginnt eigentlich mit Einsteins Artikel über den photoelektrischen Effekt. Einstein schlug vor, dass für Lichtwellen$E \propto f$, mit einer Proportionalitätskonstante, die schließlich als bekannt wurde$h$. Verwendung der Beziehung$E = pc$aus der speziellen Relativitätstheorie kann man das ableiten$pc = hf$, und mit$\lambda f = c$du erhältst$\lambda = \frac{h}{p}$. Denken Sie jedoch daran, dass dies bisher nur für Licht gilt . de Broglies Erkenntnis bestand darin, die gleiche Beziehung zu verwenden, um die Wellenlänge eines Teilchens als Funktion seines Impulses zu definieren.

Also, wo geht Ihre Ableitung schief? Der entscheidende Schritt ist$v = \lambda f$, was für eine Welle gilt , nicht für ein Teilchen. Wie Qmechanic sagt, ist die Wellengeschwindigkeit nicht gleich der Teilchengeschwindigkeit. (Ersteres ist die Phasengeschwindigkeit und letzteres ist die Gruppengeschwindigkeit.)

Wenngleich$\lambda = \frac{h}{p}$ursprünglich als Annahme angenommen wurde, kann man rückwärts (oder vorwärts, je nach Sichtweise) arbeiten und aus einer allgemeineren Quantentheorie ableiten. Angenommen, Sie beginnen mit der Schrödinger-Gleichung im freien Raum,

$$i\hbar\frac{\partial \Psi(t,x)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(t,x)}{\partial x^2}$$

Lösungen dieser Gleichung nehmen die Form an

$$\Psi(t,x) = \sum_n C_n\exp\biggl(-\frac{i}{\hbar}\bigl(E_nt \pm x\sqrt{2mE_n}\bigr)\biggr) = \sum_n C_n\exp\biggl[-i\biggl(\omega_nt \pm k_nx\biggr)\biggr]$$

Dies ist eine Welle mit mehreren einzelnen Komponenten, die jeweils eine Kreisfrequenz haben

$$\omega_n = E_n/\hbar$$ und Wellenzahl $$k_n = \frac{\sqrt{2mE_n}}{\hbar}$$ oder äquivalent Frequenz $$f_n = E_n/h$$ und Wellenlänge $$\lambda_n = \frac{h}{\sqrt{2mE_n}}$$ Um auf die Beziehung von de Broglie zu kommen, müssen Sie einen Ausdruck für den von der Welle getragenen Impuls finden. Dies geschieht mit dem Impulsoperator $\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$in $\hat{p}\Psi = p\Psi$. Die Sache ist, es funktioniert nur für eine Wellenfunktion mit einer Komponente. Also, wenn (und nur wenn) alle $C_n$sind null außer eins, können Sie bekommen

$$p_n = \mp\hbar k_n = \mp\sqrt{2m E_n}$$

und wenn man das mit der Definition von zusammenfasst$\lambda_n$, du erhältst$\lambda_n = \frac{h}{p_n}$.

Es mag wie ein Problem erscheinen, dass dieses Verfahren nur für Einkomponentenwellen funktioniert. Das ist aber in Ordnung, denn die Welle hat ohnehin keine einzige wohldefinierte Wellenlänge, es sei denn, sie besteht nur aus einer Komponente. Das ist ein entscheidender Punkt: Wenn Sie von der Wellenlänge eines Teilchens sprechen, oder genauer gesagt von der Wellenlänge der mit einem Teilchen verbundenen Materiewelle, gehen Sie implizit davon aus, dass die Materiewelle nur eine einzige Frequenzkomponente hat. Dies ist im Allgemeinen eine nützliche Annäherung für reale Teilchen, aber es ist nie genau richtig.

Die Energie$E$in diesem Fall ist die Gesamtenergie dh die kinetische Energie plus die Energie der Ruhemasse. Für ein Photon gibt es keinen Beitrag von der Ruhemasse, weil die Ruhemasse Null ist, aber für ein massives Teilchen müssen Sie beide Terme berücksichtigen. Die Energie$E$ist gegeben durch (dies ist der relativistische Ausdruck, also gilt er sowohl für Photonen als auch für massive Teilchen):

$$E^2 = p^2c^2 + m_0^2c^4$$

Wir können auch schreiben$E$als Summe der kinetischen Energie und der Ruhemassenenergie:

$$E = KE + m_0c^2$$

Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für die Energie ergibt:

$$KE^2 + 2KEm_0c^2 + m_0^2c^4 = p^2c^2 + m_0^2c^4$$

oder mit einer schnellen Umordnung:

$$p^2 = \frac{KE}{c^2} (KE + 2m_0c^2)$$

Beachten Sie, dass wir sehr unterschiedliche Verhaltensweisen für das Photon und die massiven Teilchen erhalten. Für ein Photon$m_0$Null ist, also reduziert sich der Ausdruck auf:

$$p^2 = \frac{KE^2}{c^2}$$

und Einstellung$KE = hc/\lambda$sofort gibt$p = h/\lambda$oder$\lambda = h/p$. Für ein massives Teilchen ist die kinetische Energie jedoch normalerweise winzig im Vergleich zur Ruhemasse, daher vereinfacht sich unser Ausdruck diesmal zu:

$$p^2 \approx \frac{\space KE}{c^2}2\space m_0c^2 \approx 2\space KE \space m_0$$

Der letzte Schritt besteht darin, auf die De-Broglie-Beziehung zurückzukommen:

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

und Ersatz für$p$Verwenden Sie die obige Gleichung, um zu erhalten:

$$\lambda \approx \frac{h}{\sqrt{2 \space KE \space m_0}}$$

Verwenden Sie schließlich die Niedrigenergienäherung$KE = 1/2m_0v^2$KE ersetzen und das ergibt:

$$\lambda \approx \frac{h}{\sqrt{2 \space \frac{1}{2}m_0v^2 \space m_0}} \approx \frac{h}{m_0v}$$

und natürlich$m_0v$ist nur das nicht-relativistische Momentum.

Ihr Fehler liegt in der Identifizierung von Symbolen. Die Phasengeschwindigkeit ist$v_p={E \over p}={\omega \over k}={\nu \lambda}$, während die Gruppengeschwindigkeit ist$v_g={\partial E\over \partial p}={\partial \omega\over \partial k}$

$$E=\hbar \omega$$ und $$p=\hbar k$$

In der Galileischen Relativitätstheorie$E={p^2 \over 2m}$

$$v_g= {\partial\omega \over \partial k } = {\hbar k\over m} = {p\over m}=2{\omega \over k}=2v_p$$

Die Gruppengeschwindigkeit ist doppelt so groß wie die Phasengeschwindigkeit.

Allerdings gilt in der speziellen Relativitätstheorie:

$$v_g= {\partial\omega \over \partial k } = {\partial \sqrt{(mc^2)^2+(pc)^2} \over \partial p }= {pc^2\over \sqrt{(mc^2)^2+(pc)^2}}={c^2 \over v_p}$$

Die Gruppengeschwindigkeit geht mit dem Kehrwert der Phasengeschwindigkeit einher.