Können Sie den „Zeitwert des Geldes“ und den „Zinseszins“ erklären und jeweils Beispiele nennen?

Ich werde nur den Zeitwert des Geldes in allgemeinen, beschreibenden Begriffen erklären und die Mathematik für jemand anderen aufheben.

Stellen Sie sich vor: Sie haben eine halbe Million Dollar. Ich möchte alles von dir leihen. Ich werde alles zurückzahlen, jeden Penny, aber nicht mehr. Und ich werde es in ungefähr, oh, dreißig Jahren oder so zurückzahlen. (Stellen Sie sich auch vor, Sie können sich zu 100 % sicher sein, dass ich es zurückzahlen werde.)

Klingt das nach einem guten Geschäft? Nicht wirklich. Warum nicht?

Nun, mit dieser Art von Geld könnte man etwas anfangen. Mit so viel Geld könnte man 30 Jahre lang viel machen. Sie könnten ein schönes Haus kaufen und 30 Jahre darin leben und sich sparen, viel auszugebenMiete während dieser Zeit sparen (oder Zinsen sparen, indem Sie eine Hypothek vorzeitig abbezahlen), selbst wenn der Preis des Hauses nirgendwo hingeht. Wenn Sie bereits ein Haus hatten, könnten Sie einige Heimwerkerarbeiten vornehmen, z. B. den Ort besser isolieren (um Heizkosten zu sparen) oder sogar etwas, das Sie für einen Teil dieser 30 Jahre genießen werden (eine Terrasse auf der Rückseite). Garten). Wenn Sie sich unternehmerisch fühlen, könnten Sie dieses Geld nehmen und ein Unternehmen gründen. Oder Sie könnten dieses Geld an der Börse anlegen und viel mehr zurückbekommen.... und wenn Ihnen das zu riskant ist, eröffnen Sie einfach ein Sparkonto und verdienen Sie Zinsen. Und schließlich wird der Wert des Dollars in 30 Jahren aufgrund der Inflation niedriger sein, sodass er heute nicht mehr so ​​viel kaufen wird wie damals.

Das ist der Zeitwert des Geldes. Es sind die Opportunitätskosten der besten Dinge, die Sie mit diesem Geld in der Zeit, in der es weg war, hätten machen können. Wenn Sie einen Kredit aufnehmen, hängen Ihre Zinszahlungen teilweise vom Zeitwert des Geldes ab, das Sie leihen: Die Leute, die den Kredit gewähren, könnten dieses Geld woanders anlegen, beispielsweise in Staatsanleihen. (Es hängt auch von Faktoren wie dem Ausfallrisiko des Darlehens ab – deshalb sind Kreditkartenschulden teurer als Schulden wie eine Hypothek, die durch einen großen, fetten Vermögenswert wie ein Haus besichert ist, das beschlagnahmt und verkauft werden kann, wenn Sie es tun Ausfall.) So kann die Federal Reserve die Zinssätze in der gesamten Wirtschaft beeinflussen, indem sie einfach Staatsanleihen kauft oder verkauft.

Zeitwert des Geldes – Die einfache Berechnung dafür ist FV = PV * (1+r)^N, was lautet: Der zukünftige Wert ist gleich dem Gegenwartswert mal 1 plus dem Zinssatz, multipliziert mit sich selbst und der Anzahl der Perioden, die vergehen werden . Eine einfache Möglichkeit, dies zu betrachten, ist, dass bei Zinssätzen von 5 %/Jahr ein Dollar (1,05)^N wert wäre, wobei N die Anzahl der verstreichenden Jahre ist.

Das Konzept des Zinseszinses kann nicht davon getrennt werden. Bei der Aufzinsung werden die Zinsen auf die in früheren Perioden aufgelaufenen Zinsen berücksichtigt. Wenn ich Ihnen 30 Jahre lang einen Dollar zu 6 % einfachen Zinsen leihe, würden Sie mir 1 $ + 1,80 $ oder 2,80 $ zurückzahlen. Aber - 1,06 ^ 30 = 5,74, so dass der Dollar, der 30 Jahre lang jährlich zu 6 % aufgezinst wird, 5,74 $ beträgt. Ein ziemlicher Unterschied.

Oft wird der Zeitwert des Geldes im Lichte der Inflation diskutiert. Ein Dollar ist heute nicht mehr der gleiche Dollar wie vor 30 Jahren oder in 30 Jahren danach. Tatsächlich hat die Inflation den Wert des Dollars in den letzten 30 Jahren um den Faktor 3 erodiert. Ein durchschnittlicher Artikel, der 100 $ kostet, würde jetzt 300 $ kosten. Wenn man also investiert, versucht man zumindest, der Inflation einen Schritt voraus zu sein und eine zusätzliche Rendite für sein Risiko zu erzielen.

Eine Eigenart des Compoundierens ist die „72er-Regel“. Diese Regel besagt, dass wenn Sie den Zinssatz durch die Zahl 72 teilen, das Ergebnis die Anzahl der zu verdoppelnden Jahre ist. 10 % pro Jahr werden also ungefähr 7,2 Jahre dauern, um sich zu verdoppeln, 8 %, 9 Jahre usw. Das ist nicht 100 % genau, aber eine gute „Rückseiten-der-Serviette“-Rechnung.

Wenn Leute über die Gesamtzahlungen während der dreißigjährigen Laufzeit einer Hypothek sprechen, ignorieren sie oft den Zeitwert des Geldes. Diese Zahlung hat selbst in zehn Jahren weit weniger Wert als die gleiche Zahlung heute.

Das grundlegende Konzept des Zeitwerts des Geldes ist, dass Geld jetzt mehr wert ist als der gleiche Geldbetrag später , aufgrund dessen, was Sie zwischen jetzt und später mit Geld machen können. Wenn ich Ihnen die Wahl zwischen 1000 Dollar jetzt und 1000 Dollar in sechs Monaten geben würde, wenn Sie auch nur den geringsten Verstand hätten, würden Sie jetzt um das Geld bitten. Das liegt daran, dass Sie in den sechs Monaten die tausend Dollar auf eine Weise verwenden könnten, die Ihr Nettovermögen zwischen jetzt und sechs Monaten von jetzt an verbessern würde; Schulden zurückzahlen, Investitionen in Ihr Haus oder Geschäft tätigen, für den Ruhestand sparen, indem Sie in verzinsliche Instrumente wie Aktien, Anleihen, Investmentfonds usw. investieren. Es gibt absolut keinen Vorteil und jeden Nachteil, 6 Monate zu warten, um den gleichen Geldbetrag zu erhalten die du jetzt bekommen könntest.

Wenn ich Ihnen jedoch die Wahl zwischen 1000 $ jetzt und 1100 $ in sechs Monaten geben würde, wäre das vielleicht eine schwierigere Frage; Sie werden später mehr Geld bekommen, also stellt sich die Frage, wie viel Sie Ihr Nettovermögen in sechs Monaten verbessern können, wenn Sie jetzt 1000 US-Dollar geben? Wenn es mehr als 100 US-Dollar sind, wollen Sie das Geld jetzt immer noch, aber wenn Sie nichts tun können, werden Sie mehr als 100 US-Dollar verdienen, oder wenn es ein hohes Risikoelement für das gibt, was Sie tun können, werden Sie 100 US-Dollar verdienen, was Sie tatsächlich dazu veranlassen könnte Geld verlieren, dann nehmen Sie vielleicht später das erhöhte, garantierte Geld.

Es gibt zwei grundlegende Formeln, die verwendet werden, um den Zeitwert des Geldes zu berechnen; die Formeln "Future Value" und "Present Value". Sie sind im Grunde die gleiche Formel, neu angeordnet, um nach unterschiedlichen Werten zu lösen. Die Zukunftswertformel beantwortet die Frage „Wie viel Geld habe ich, wenn ich jetzt einen bestimmten Betrag zu einer bestimmten Rendite für eine bestimmte Zeit investiere“?. Die Formel lautet FV = PV * (1+R) ^N , wobei FV der zukünftige Wert ist (wie viel Sie später haben werden), PV der aktuelle Wert ist (wie viel Sie jetzt haben werden), R die periodische Rate ist der Rendite (der Prozentsatz, um den Ihr Geld in jeder Zeiteinheit wächst, z. B. in einem Monat oder einem Jahr), und N die Anzahl der Zeiteinheiten in der Gesamtzeitspanne ist.

Nun, Sie haben gefragt, was "Compounding" ist. Die Theorie ist sehr einfach; wenn Sie einen Geldbetrag (den „Kapitalbetrag“) in eine Anlage investieren, die Ihnen eine Rendite (Zinsen) zahlt, und das Konto nicht berühren (in der Tat reinvestieren Sie die Zinsen, die Sie auf dem Konto verdienen, wieder auf dasselbe Konto ), dann erhalten Sie nach dem ersten Zeitraum, in dem die Zinsen berechnet und gezahlt werden, nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital, sondern auf den bereits verdienten Zinsbetrag. Dadurch kann Ihr zukünftiger Wert schneller wachsen, als wenn Ihnen „einfache Zinsen“ gezahlt würden, bei denen Zinsen immer nur auf das Kapital gezahlt werden (z. B. wenn Sie den verdienten Zinsbetrag bei jeder Zahlung abheben). Das wird in der Zukunftswertformel mit dem Exponententerm berücksichtigt; wenn Sie 8 % pro Jahr auf Ihre Investition verdienen,² = 116,64 % (statt nur 116 %, die Sie mit einfachen Zinsen erhalten würden). Dieser Vorteil von 0,64 % gegenüber der Aufzinsung klingt nicht nach einem großen Vorteil, aber bleiben Sie dran; nach zehn Jahren haben Sie 215,89 % (statt 180 %) Ihrer ursprünglichen Investition, nach 20 Jahren 466,10 % (statt 260 %) und nach 30 Jahren ist Ihr Geld um über 1000 % gewachsen im Gegensatz zu a schlappe 340 % würden Sie mit einfachen Zinsen bekommen.

Die Barwertformel basiert auf der gleichen Grundformel, ist aber für den PV-Term „gelöst“ und geht davon aus, dass Sie den FV-Betrag kennen. Die Barwertformel beantwortet Fragen wie „Wie viel Geld müsste ich jetzt investieren, um zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft über X Dollar zu verfügen?“. Diese Formel lautet PV = FV / (1+R) ^N , wobei alle Begriffe dasselbe bedeuten, außer dass R in dieser Form typischerweise als "Diskontsatz" bezeichnet wird, da sein Zweck hier darin besteht, einen zukünftigen Betrag zu senken (diskontieren). Geld, um zu zeigen, was es dir jetzt wert ist.

Nun, der Diskontsatz (oder Renditesatz), der in diesen Berechnungen verwendet wird, ist nicht immer der tatsächliche Renditesatz, den die Investition im Laufe der Zeit verspricht oder gezeigt hat. Anleger berechnen den Abzinsungssatz für eine Aktie oder andere Anlage auf der Grundlage der Risiken, die sie in den Finanzzahlen des Unternehmens oder im Markt insgesamt sehen. Die Modelle, die von professionellen Anlegern zur Quantifizierung von Risiken verwendet werden, sind ziemlich komplex (die Leute, die sie für die großen Investmentbanken erfinden, werden "Quants" genannt, und die typischen Quants haben einen Hochschulabschluss in Mathematik und werden mit einer Sechs vom College eingestellt -bezahltes Gehalt), aber normalerweise reicht es für den durchschnittlichen Anleger aus, zu verstehen, dass jede Investition ein inhärentes Risiko beinhaltet, und je länger der Zeitraum ist, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit, dass etwas Schlimmes passiert, das die Rendite Ihrer Investition verringert. Aus diesem Grund trägt die 30-jährige Schatzanweisung einen höheren Zinssatz als die 10-jährige T-Note, die höhere Zinsen trägt als die 6-monatigen, 1-jährigen und 5-jährigen T-Bills.

In den meisten Fällen können Sie als Einzelanleger (oder sogar als institutioneller Anleger wie ein Hedgefonds-Manager für eine Investmentbank) die Rendite einer Anlage nicht kontrollieren. Die tatsächliche Rendite wird vom Markt als Ganzes bestimmt, in Form von Menschen, die die Anlagen zu einem Preis kaufen und verkaufen, der zusammen mit den Auszahlungen der Investition die Rendite bestimmt. Die Risiko-Rendite-Zahlen werden stattdessen verwendet, um eine Kauf-/Nicht-Kauf-Entscheidung für eine bestimmte Anlage zu treffen. Wenn die Höhe des Risikos, das Sie in einer Investition vorhersehen, erfordern würde, dass Sie 10 % verdienen müssten, um sie zu rechtfertigen, die Investition sich aber tatsächlich nur 6 % auszahlt, dann kaufen Sie sie nicht. Wenn Sie jedoch angesichts Ihres wahrgenommenen Risikos bereit wären, 4 % für dieselbe Investition zu akzeptieren, sollten Sie kaufen.

Zinseszins bedeutet, dass die Zinsen in jedem Zeitraum unter Berücksichtigung der zuvor verdienten Zinsen und nicht nur der Anfangssumme berechnet werden. Wenn Sie also 1000 US-Dollar hätten und sie so investieren, dass Sie jedes Jahr 5 % verdienen, würden Sie in 30 Jahren 0,05 * 30 * 1000 = 1500 US-Dollar verdienen, wenn Sie die Einnahmen jedes Jahr abheben würden, also zusammenfassend hätten Sie $2500 oder 150 % Gewinn.

Wenn Sie jedoch das gesamte Geld zurücklassen, um Zinsen zu verdienen – einschließlich der Zinsgelder –, dann hätten Sie am Ende von 30 Jahren 4321 USD – oder 330 % Gewinn.

Deshalb ist der Zinseszins so wichtig – die Verzinsung der erwirtschafteten Zinsen lässt das Geld deutlich schneller wachsen. Auf der anderen Seite passiert dasselbe, wenn Sie Geld schulden – die Zinsen auf das geschuldete Geld werden zur Anfangssumme hinzuaddiert und so wächst die gesamte geschuldete Summe schneller an.

Der Zinseszins ist auch wichtig, wenn Zinsen nach Zeiträumen berechnet werden. Wenn Ihnen beispielsweise gesagt wird, dass für das Darlehen monatlich 1 % Zinsen anfallen, denken Sie vielleicht, dass es 12 % jährlich sind. Dem ist aber nicht so, da die monatlichen Zinsen aufgezinst werden – also im Februar nicht nur 1 % vom Februar, sondern auch 1 % auf 1 % vom Januar usw. – beträgt der reale Zins jährlich 12,68 %. Daher ist es immer nützlich zu wissen, wie Zinsen berechnet werden – sowohl für Kredite als auch für Investitionen – täglich, monatlich, jährlich usw.

Hier sind einige wirklich hervorragende Video-Tutorials zu diesen Themen:

Einführung in den Zinseszins

Einführung in den Barwert

Eine wirklich einfache Definition oder Analogie des Barwerts wäre der „Hauptbetrag“ oder „Darlehensbetrag“, der verliehen wird, und der zukünftige Wert als Rückzahlung des Hauptbetrags zusammen mit den Kreditkosten

(1+i)^n sind die Zinsen, die Sie auf den Barwert verdienen

(i+i)^-n sind die Zinsen, die Sie auf den zukünftigen Wert zahlen

Der erste ist der FVIF oder zukünftige Wert von 1 $

Der zweite ist der PVIF oder Barwert von 1 $

Diese beiden Zinsfaktoren gehen davon aus, dass die Zinsen jährlich gezahlt werden, wenn die Zinszahlung häufiger innerhalb des Zahlungsjahres erfolgt, sehen die Zinsfaktoren so aus

(1+i/m)^mn

(i+i/m)^-mn

m ist die Häufigkeit der Zinszahlung, je höher diese Häufigkeit, desto mehr Zinsen zahlen oder verdienen Sie und Sie zahlen oder verdienen die meisten Zinsen, wenn die Aufzinsung in jedem kleinen Bruchteil der Zeit erfolgt

Dies beinhaltet

m->∞
i/m->0
(1+i/∞)^∞ -> e^i

hier ist e das Eulersche e

Damit wenden sich die Zinsfaktoren diesem zu

FVIF = e^it
PVIF = e^-it

Die vorstehenden Beispiele betrachteten nur eine einmalige Rückzahlung zu einem späteren Zeitpunkt.

Wenn Sie nun verpflichtet wären, periodische Darlehensrückzahlungen zu leisten, sagen Sie in Höhe von 1 USD für n Perioden. Dann ist der Barwert all dieser periodischen Zahlungen der „Hauptbetrag“ oder Betrag, den Sie geliehen haben. Dies ist die Summe der diskontierten periodischen Zahlungen als

(1+i)^-1 + (1+i)^-2 + (1+i)^-3 + ... + (1+i)^n-1 + (1+i)^-n

wenn wir 1/1+i durch x ersetzen, stellt sich heraus, dass es sich um eine geometrische Reihe der Form handelt

x + x^2 + x^3 + ... + x^n-1 + x^n

Dies vereinfacht zu

(1-x^n) / (1 - x)

Ersetzen von (1/1+i) für x erhalten wir

[1-(1+i)^-n] / (1-1+i)
PVIFA = [1-(1+i)^-n] / i

Dies ist der Barwert der regelmäßigen Zahlung in Höhe von 1 USD

Der zukünftige Wert der regelmäßigen Zahlungen in Höhe von 1 $ kann durch Multiplizieren des PVIFA mit (1 + i) ^ n gegeben werden

FVIFA = (1+i)^n[1-(1+i)^-n] / i
FVIFA = [(1+i)^n-(1+i)^n(1+i)^-n] / i
FVIFA = [(1+i)^n-(1+i)^n-n] / i
FVIFA = [(1+i)^n-(1+i)^0] / i
FVIFA = [(1+i)^n-1] / i

Auch hier werden die Zinsen jährlich verzinst und für die Verzinsung innerhalb eines Jahres müssten Sie zunächst die jährliche effektive Rendite AEY finden, die verwendet werden soll, da die Effektrate die PVIFA- und FVIFA-Berechnung ist

AEY = (1+i/m)^m -1

für kontinuierliche Compoundierung

AEY = e^i - 1

Bei allen bisher diskutierten Berechnungen wurde die Inflation nicht berücksichtigt. Wenn wir die Beträge um ein Wachstum von g% anpassen würden, wäre der Barwert eines $ 1 wie folgt

PVIFG = (1+g)^(n-1) . (1+i)^(-n)

FVIFG = (1+g)^(n-1) . (1+i)^(n)

PVIFGA = [ 1 - (1+g)^n . (1+i)^-n ] / [i - g]

FVIFGA = (1+i)^n[ 1 - (1+g)^n . (1+i)^-n ] / [i - g]
FVIFGA = [ (1+i)^n - (1+i)^n. (1+g)^n . (1+i)^-n ] / [i - g]
FVIFGA = [ (1+i)^n - (1+g)^n ] / [i - g]

Auch hier müssten Sie AEY verwenden, wenn die Zinseszinsfrequenz unterjährig ist

Nehmen Sie nun an, dass jede Kreditrückzahlung um einen zusätzlichen Betrag Q pro Periode zunimmt oder abnimmt. Um den Barwert einer Reihe von Zahlungen P zu ermitteln, die pro Periode um einen Betrag Q steigen oder fallen, würden wir die folgenden Berechnungen durchführen

PV = P PVIFA(i%, n) + Q/i [ PVIFA(i%, n) - n PVIF(i%,n) ]

Hier

PVIFA(i%, n) = [ 1 - (1+i)^-n ] / i

und

PVIF(i%, n) = (1+i)^-n

Alle diese Berechnungen waren im tadXL -Add-in für Finanzen verfügbar und werden schrittweise als JavaScript- Finanzfunktionsbibliothek tadJS angeboten . Bitte beachten Sie, dass die tad -Reihe der Finanzfunktionsbibliothek für verschiedene Umgebungen wie Excel, JavaScript, PHP, Ruby, Microsoft.net und andere Eigentum des Autors ist, der diesen Beitrag verfasst. Alle diese Bibliotheken mit Ausnahme einer für Excel sind KOSTENLOS für die öffentliche Nutzung verfügbar.

Und der zukünftige Wert solcher Zahlungen mit Inkrementen kann durch Multiplizieren des PV mit (1+i)^n wie folgt ermittelt werden

FV = P PVIFA(i%, n)(1+i)^n + Q/i [ PVIFA(i%, n)(1+i)^n - n PVIF(i%,n)(1+i)^n ]
FV = P FVIFA(i%, n) + Q/i [ FVIFA(i%, n) - n ]

Hier

FVIFA(i%, n) = [ (1+i)^n - 1 ] / i