Kollision und impulsive Kräfte: ein formaler Ansatz

Stellen Sie sich zwei Körper vor$m$Und$M$. Nehme an, dass$m$bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit$v_0 > 0$entlang einer bestimmten Achse (z. B. es bewegt sich nach rechts auf der$x$-Achse), und zu einem bestimmten Zeitpunkt kollidiert es mit$M$bei$t=0$. Angenommen, nach der Kollision$m$Geschwindigkeit hat$v_1 \in \mathbb{R}$Und$M$Geschwindigkeit hat$w_1>0$.

Beim Zusammenstoß werden die beiden Körper impulsiven Kräften ausgesetzt. Gegeben$f>0$, diese Kräfte sind$-f\delta(t)$auf dem Körper$m$Und$f\delta(t)$des Körpers$M$aufgrund des dritten Newtonschen Gesetzes. Beachte das$\delta(t)$ist das Dirac-Delta. Darüber hinaus,$f$Ist$[N\cdot s]$Und$\delta(t)$Ist$[s^{-1}]$.

In diesem Aufbau kann ich sagen, dass die Geschwindigkeiten zweier Körper über die Zeit die folgenden sind:

$$\begin{cases} v(t) & = & v_0 + (v_1 - v_0)H(t)\\ w(t) & = & w_1 H(t) \end{cases},$$

Wo$H(t)$ist der Heaviside-Schritt. Danach können wir schreiben:

$$\begin{cases} \dot{v} & = & (v_1 - v_0)\delta(t)\\ \dot{w} & = & w_1 \delta(t) \end{cases},$$

seit$H'(t) = \delta(t)$.

Die Bewegungsgesetze der Körper sind:

$$\begin{cases} m\dot{v} & = & -f\delta(t)\\ M\dot{w} & = & f \delta(t) \end{cases},$$

und daher:

$$\begin{cases} m(v_1-v_0)\delta(t) & = & -f\delta(t)\\ Mw_1\delta(t) & = & f \delta(t) \end{cases} \Rightarrow \\ \begin{cases} m(v_1-v_0) & = & -f\\ Mw_1 & = & f \end{cases} \Rightarrow\\ f = Mw_1 = m(v_0-v_1).$$

Als Anmerkung,$f$Und$-f$sind die Variationen der Impulse von$M$Und$m$, bzw. Damit habe ich die Gleichung der Impulserhaltung des Gesamtsystems erhalten$m+M$.

Angenommen, wir wissen nicht , ob der Stoß elastisch ist oder nicht. Wie können wir die Variation der kinetischen Energie auswerten, ohne Formeln wie z$\frac{1}{2}mv^2$, sondern nur die Bewegungsgesetze und den Geschwindigkeitsausdruck der beiden Körper betrachten?