Paradoxon der scheinbaren kinetischen Energie

Meine Frage ist: Wie kann es möglich sein, dass das gleiche Ereignis mit nur halber Energie abläuft?

Nun, Sie vernachlässigen das Momentum, also vernachlässigen Sie im ersten Szenario auch die Hälfte der Energie.

Nehmen wir an, dass die Kollision perfekt plastisch ist. Mit$E=\frac{1}{2}mv^2$Und$p=mv$, dann falls ich Auto A zunächst mit starte$4E$Und$2p$während Auto B zunächst mit startet$0E$Und$0p$. Da nach der Kollision der Impuls beibehalten wird, hat das Wrack des Autos A+B immer noch Impuls$2p$, also die Geschwindigkeit des Wracks$v$und damit die kinetische Energie des Wracks ist$2E$was bedeutet, dass die Menge an Energie, die bei der plastischen Verformung verloren geht, war$2E$.

Im Fall II startet Auto A zunächst mit$E$Und$p$während Auto B mit beginnt$E$Und$-p$. Da nach der Kollision der Impuls erhalten bleibt, hat das Wrack des Autos A + B keinen Impuls, also die Geschwindigkeit des Wracks$0$und damit die kinetische Energie des Wracks ist$0$was bedeutet, dass die Menge an Energie, die bei der plastischen Verformung verloren geht, erneut war$2E$.

Also habe ich die Hälfte des Benzins verschwendet, um den endgültigen KE des Wracks zu erhöhen. Im Gegensatz dazu verschwendete Fall II kein Benzin in KE des Wracks, weshalb er weniger Treibstoff verbrauchen konnte.

Wann immer Sie eine Situation wie diese sehen, in der die Energie nicht erhalten zu sein scheint, überprüfen Sie immer auch Ihren Schwung. Sehr oft (nicht immer, aber oft) werden Sie feststellen, dass es Ihnen hilft, die fehlende Energie zu finden, wenn Sie dem Schwung folgen.

Ich wollte den anderen (richtigen und guten) Antworten eine etwas andere Perspektive hinzufügen.

Die kinetische Energie ist bei einem Rahmenwechsel nicht unveränderlich. Stellen Sie sich eine Kiste mit Masse vor$m$im Ruhezustand. Wenn ich in einen Frame Booste, der sich mit Geschwindigkeit bewegt$V$, die kinetische Energie der Kiste ist jetzt$\frac{1}{2} m V^2$in diesem neuen Rahmen, obwohl die Box nie beschleunigt wurde. Änderungen der kinetischen Gesamtenergie sind jedoch in verschiedenen Trägheitsrahmen gleich (da die Änderung der kinetischen Energie auf die geleistete Arbeit zurückzuführen ist und die Arbeit in der Newtonschen Physik unter Boosts unveränderlich ist) . Das bedeutet, dass die kinetische Energie der Box in jedem festen Rahmen konstant ist, vorausgesetzt, es wird keine Arbeit daran geleistet (was Sie hoffentlich intuitiv erwarten würden - Sie erhalten keine nützliche Energie kostenlos ) .

Wenn wir dies auf Ihre Situation anwenden, sehen wir, dass die Änderung der kinetischen Energie vom Zustand vor der Kollision zum Zustand nach der Kollision immer ist$2E$, unabhängig davon, ob Sie sich im „Fall I“-Referenzrahmen oder im „Fall II“-Referenzrahmen befinden, wie Dale ausdrücklich gezeigt hat. Der tatsächliche Wert der kinetischen Energie im Nachkollisionszustand ist jedoch anders ($2E$In dem Fall, in dem ich rahmen,$0$im Fall II Rahmen). Dies liegt einfach daran, dass es einen Boost gibt, der die beiden Frames verbindet. Solange wir uns nur um die Analyse der Kollision kümmern, können wir jeden Rahmen verwenden, und es gibt keine Widersprüche zu allgemeinen Prinzipien.

Ihr Problem fügt jedoch ein zusätzliches Element hinzu: Sie geben an, dass die Autos relativ zueinander in Ruhe gestartet sind und dann eines oder beide Autos von diesem anfänglichen Frame aus beschleunigt haben. Der Anfangsrahmen, in dem beide Autos gleichzeitig in Ruhe sind, wählt einen speziellen Rahmen aus, in dem dieses Problem analysiert werden kann. Im Fall I wird mehr Gesamtenergie aufgewendet, um Auto A aus dem speziellen Ruherahmen in seinen Vorkollisionszustand zu beschleunigen, als Energie, die aufgewendet wird, um die Autos A und B in ihre Vorkollisionszustände in Fall II zu beschleunigen. Dieser Unterschied spiegelt sich in den Postkollisionszuständen wider (wie von den anderen Antwortenden angegeben): In Fall I hat das Wrack zusätzliche kinetische Energie (relativ zum anfänglichen speziellen Ruherahmen) im Vergleich zum Postkollisionszustand von Fall II.

Sie könnten, wenn Sie wollten, den gesamten Prozess in einem anderen Rahmen analysieren. In diesem Szenario würden Sie für den Fall, dass Sie mit beiden Autos beginnen, die sich mit einer Geschwindigkeit bewegen$V$, dann würde Auto A auf Auto zu beschleunigen$B$, dann würden sie beide kollidieren und mit einer anderen Geschwindigkeit enden$V$-- am Ende des gesamten Prozesses wurde etwas Energie verwendet, um die gesamte kinetische Energie zu ändern (und ging daher nicht in die Kollision ein). Im Fall II würden Sie wieder damit beginnen, dass sich beide Autos mit einer Geschwindigkeit bewegen$V$, aber jetzt würden beide Autos aufeinander zu beschleunigen und sich mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen$V$nach der Kollision (es gab also keine Nettoänderung der kinetischen Energie, und jegliche Energie, die zum Beschleunigen der Autos verwendet wurde, ging in die Kollision ein). Auf diese Art der Berechnung, indem Sie sich auf Änderungen der gesamten kinetischen Energie konzentrieren (die bei einer Änderung des Frames unveränderlich sind), können Sie sehen, dass Sie in jedem Frame die gleiche Antwort erhalten, aber Ihre Arbeit ist schwieriger, wenn Sie dies tun Verwenden Sie nicht den speziellen Ruherahmen, an dem beide Autos anfänglich ruhen.

In dieser Antwort bin ich davon ausgegangen, dass wir über Trägheitsrahmen sprechen. Keines der Autos befindet sich jedoch während des gesamten Prozesses in einem Trägheitsrahmen, da eine gewisse Beschleunigung vorliegt (sowohl anfänglich als auch während der Kollision). Sie können das Szenario auch mit dem nicht-trägen Referenzrahmen eines der Autos analysieren. Die Analyse wird jedoch komplizierter, da sich die gesamte kinetische Energie im Nicht-Trägheitsrahmen während der Zeiten, in denen der Rahmen beschleunigt, ändert. Dies ist eine "fiktive" Energieänderung aufgrund der Arbeit, die von den "fiktiven" Kräften im nicht-trägen Rahmen geleistet wird. Wenn Sie diese Änderungen korrekt berücksichtigen, erhalten Sie das gleiche Ergebnis wie die Analyse in einem Inertialsystem. Wie du sehen kannst,

Wie kann es möglich sein, dass dasselbe Ereignis mit nur halber Energie abläuft?

Ihre Mathematik in Bezug auf die Energie ist korrekt, aber Ihre Annahme, dass die gesamte kinetische Energie in Schaden (Materialverformung) umgewandelt wird, ist falsch. Nach der Kollision könnten die beiden Autos weiterfahren, was bedeutet, dass nur ein Teil der (anfänglichen) kinetischen Energie durch Beschädigung verloren geht.

Kollisionen werden am besten über Momentum verstanden. Bei einer Kollision entsteht zwischen den beiden Objekten eine Kollisionskraft . Da die Stoßkraft (normalerweise) viel größer ist als andere äußere Kräfte und da sie dem dritten Newtonschen Bewegungsgesetz (Aktion-Reaktion) gehorcht, bleibt der Impuls vor und nach dem Stoß erhalten

Wo$v$Und$v'$sind Geschwindigkeiten kurz vor bzw. nach dem Stoß.

Im Allgemeinen gibt es zwei Arten von Stößen: (i) elastische, bei denen keine Energie verloren geht, dh die kinetische Energie des Systems vor und nach dem Stoß ist gleich; (ii) unelastisch, bei dem ein Teil der Energie durch Wärme, Materialverformung usw. verloren geht. Ein Sonderfall der unelastischen Kollision ist, wenn die beiden Teilchen miteinander verschmelzen, so dass sie zu einem Körper werden und nach der Kollision die gleiche Geschwindigkeit haben - das ist wird als perfekter unelastischer Stoß bezeichnet .

Fall I

Mit$m_a = m_b \equiv m$,$\vec{v}_a = 2v$, Und$\vec{v}_b = 0$wir haben

Daraus ist ersichtlich, dass noch etwas kinetische Energie im System vorhanden ist, dh nicht die gesamte Energie durch Kollision (oder Schaden, wie Sie es nennen) verloren geht. Falls der Stoß vollkommen unelastisch ist , sind die Endgeschwindigkeiten gleich$\vec{v}_a' = \vec{v}_b' = v$und kinetische Energie vor und nach der Kollision ist

Die kinetische Energiedifferenz$\Delta K = -\frac{1}{2} K_1 = -m v^2$geht auf Materialverformung, Hitze etc.

Fall II

Mit$m_a = m_b \equiv m$,$\vec{v}_a = v$, Und$\vec{v}_b = -v$wir haben

Nehmen wir wieder an, dass der Stoß vollkommen unelastisch ist . Die Endgeschwindigkeiten sind dann$\vec{v}_a' = \vec{v}_b' = 0$und die kinetische Energiedifferenz ist$\Delta K = -m v^2$, ebenso wie im Fall I .

Im ersten Fall erhöht das andere Auto seine kinetische Energie aus dem Trägheitsrahmen der Straße (dasselbe gilt für das Auto in Ruhe vor der Kollision).$\Delta E_k = 2mv^2$, und die entsprechende Arbeit kommt von 4E Kraftstoff. Nach dem Aufprall wird es, vorausgesetzt, es liegt lose im Boden, auf eine Geschwindigkeit beschleunigt$v$wegen Impulserhaltung. Die endgültige kinetische Energie ist also$mv^2$, und beide sind auch plastisch verformt.

Für den zweiten Fall ist es nicht möglich, eines der Autos als Trägheitsrahmen zu wählen, da beide beschleunigen. Mit dem Straßenrahmen verbrauchen sie 2E Kraftstoff, um genug Arbeit für einen kombinierten zu bekommen$\Delta E_k = mv^2$, und alles wird in plastischer Verformung verbraucht, da die endgültige kinetische Energie Null ist.

Die Energie ist also für beide Fälle ausgeglichen.

Wenn das Auto im Ruhezustand beispielsweise im ersten Fall an einer Wand befestigt ist und die Endgeschwindigkeit Null ist, wird die überschüssige Energie in Vibrationen (oder Schäden) an der Wand verschwendet.

Sie fragen : „Wie kann es möglich sein, dass dasselbe Ereignis mit nur halb so viel Energie abläuft?“ Die Antwort ist, dass Sie zwei verschiedene Ereignisse beschrieben haben.

In einem Szenario, das Sie beschreiben, bewegen sich zwei Autos mit gleicher Geschwindigkeit relativ zum Boden in entgegengesetzte Richtungen - im anderen bewegt sich ein Auto mit doppelter Geschwindigkeit relativ zum Boden, während das zweite stationär bleibt. Es sind zwei ganz unterschiedliche „Ereignisse“.

Wenn Sie den Fall betrachten, in dem sich beide Autos relativ zum Boden bewegen, ist ihr kombinierter Impuls null. Wenn sie also zusammenstoßen, wird der Schwerpunkt des Wracks stationär sein. Im anderen Fall beträgt der kombinierte Impuls vor und nach dem Aufprall 2 mV, sodass sich das Wrack unmittelbar nach dem Aufprall in der Bewegungsrichtung des mit 2 V gefahrenen Autos weiterbewegt.

Ein weiterer wichtiger Punkt, den es zu beachten gilt, ist, dass KE Frame-abhängig ist. Vielleicht möchten Sie darüber nachdenken, wie der Absturz im Bezugsrahmen eines Hubschraubers aussehen würde, der beispielsweise mit 10 V vorbeifliegt.

Wiederholen, was andere gesagt haben, aber ich denke, um es klarer zu machen:

Nach Fall I hat der Massenmittelpunkt der Trümmer eine Geschwindigkeit von$2v$. Aber Fall II endet damit, dass der Schwerpunkt eine Geschwindigkeit von hat$0$. Fall II führt also tatsächlich nicht zu demselben Ereignis wie Fall I. Damit Fall II dasselbe Endergebnis wie Fall I hat, müssen wir die Trümmer beschleunigen, die Masse haben$2m$, zur Geschwindigkeit$2v$. Dies erfordert Energie von$2E$. Die insgesamt benötigte Energiemenge ist also in jedem Fall gleich.