Konstruktion der N=2N=2\cal{N}=2 supersymmetrischen nicht-Abelschen Chern-Simon-Theorie

Dies hängt mit dieser früheren Frage zusammen , die ich gestellt hatte.

Ich verwende die sogenannte ``Majorana"-Darstellung von Gammamatrizen in$2+1$Dimensionen, in denen alles real ist. Nach der Dimensionsreduktion der$\cal{N}=1$Supersymmetrietransformationen der Komponenten des Vektorsuperfeldes in$3+1$bemaßt die Supersymmetrietransformationen der resultierenden$\cal{N}=2$Komponenten des Vektorsuperfeldes in$2+1$Abmessungen sind,

$$\delta F_A = i \bar{\alpha}^a\lambda_{Aa}$$ $$\delta D_A = i \bar{\alpha}^a\gamma_3^\mu D_\mu \lambda_{Aa}$$ $$\delta V_{A\mu} = i \bar{\alpha}^a\gamma_{3\mu}\lambda_{Aa}$$ $$\delta \lambda_{Aa} = -\frac{1}{2}f^3_{A\mu \nu}\gamma_3^{\mu \nu}\alpha_a + D_A\alpha^a + \gamma_3^\mu D_\mu F_A\alpha ^a$$

Wo$A,B,..$sind die Eichgruppenindizes,$f^3_{A\mu \nu}$ist die nicht-Abelsche Feldstärke und$\alpha$ist ein Spinorparameter, dessen Komponenten angehoben und abgesenkt werden als,$\alpha^1 = \alpha_2$Und$\alpha^2 = -\alpha_1$.

Unter Verwendung des Obigen kann man die folgenden Transformationen für die möglichen Terme in der beabsichtigten Super-Chern-Simons-Theorie ableiten:

$$\delta(Tr[FD]) = Tr[t_At_B] \{ i\bar{\alpha}^a \lambda _{Aa}D_B - i \bar{\alpha}^a \gamma_3^\mu\lambda_{Ba}\partial_\mu F_A + i\bar{\alpha}^a \gamma_3^\mu \lambda_{Ca} C_{BB'C}V_{B'\mu}F_A\}$$

$$\delta(Tr[\bar{\lambda}_a\lambda_a]) = 2Tr[t_A t_B]\{ \frac{1}{2}\bar{\alpha}_a\gamma_{3\rho}\lambda_{Ba}f^3_{A\mu\nu}\epsilon ^{\mu \nu \rho} + \bar{\alpha}^a\lambda_{Ba}D_A - \bar{\alpha}^a\gamma_3^\mu \lambda_{Ba}\partial_\mu F_A$$

$$- \bar{\alpha}^a\gamma_3^\mu \lambda_{Ba}C_{AB'C}V_{B'\mu}F_C \}$$

$$\delta(Tr[\epsilon^{\mu \nu \rho}(V_\mu \partial_\nu V_\rho)]) = -i\epsilon^{\mu \nu \rho}Tr[t_At_B]\bar{\alpha}^a\gamma_{3\rho}\lambda_{Aa}(\partial_\mu V_{B\nu} - \partial_\nu V_{B\mu})$$

$$\delta(Tr[\epsilon ^{\mu \nu \rho}V_\mu V_\nu V_\rho]) = -\frac{3}{2}\epsilon^{\mu \nu \rho}Tr[t_At_D]C_{DBC}\bar{\alpha}^a\gamma_{3\mu}\lambda_{Aa}V_{B\nu}V_{C\rho}$$

(Wo$t_A$sind eine gewählte Basis in der Lügenalgebra der Eichgruppe, so dass die Strukturkonstanten definiert sind als$[t_A,t_B]=iC_{DAB}t_D$)

Es ist klar, dass durch die Wahl eines Koeffizienten von$-2$für die$Tr[FD]$Und$i$für die$Tr[\bar{\lambda}_a\lambda_a]$Bei einigen der Terme kann die Variation der Hilfsfelder aufgehoben werden, und bei einigen der verbleibenden Terme kann die Variation des fermionischen Terms vollständig die supersymmetrische Variation des kinetischen Terms der Eichfelder aufheben.

Was bleibt, sind

$$\delta(Tr[\epsilon^{\mu \nu \rho}V_\mu\partial _ \nu V_\rho + i \bar{\lambda}_a\lambda_a - 2FD]) = Tr[t_At_B]\{i\bar{\alpha}_a\gamma_{3\rho}\lambda_{Aa}C_{BCD}V_{C\mu}V_{D\nu}\epsilon^{\mu \nu \rho}$$ $$- 2i\bar{\alpha}^a\gamma_3^\mu \lambda_{Ba}C_{AB'C}V_{B'\mu}F_C - 2i\bar{\alpha}^a\gamma_3^\mu \lambda_{Ca}C_{BB'C}V_{B'\mu}F_A\}$$

Und

$$\delta(Tr[\epsilon ^{\mu \nu \rho}V_\mu V_\nu V_\rho]) = -\frac{3}{2}Tr[t_At_B]\bar{\alpha}^a\gamma_{3\mu}\lambda_{Aa}C_{BCD}V_{C\nu}V_{D\rho}\epsilon^{\mu \nu \rho}$$

• Es ist nicht klar, dass für den letzten Term ein Koeffizient gewählt werden kann, so dass die supersymmetrische Variation der Summe der LHSs auf Null geht.

Die oben genannten Begriffe scheinen strukturell sehr unterschiedlich zu sein, und daher ist nicht klar, wie sie aufgehoben werden. Wie die Variation des fermionischen Selbstkopplungsterms ergibt sich eine Kopplung von fermionischer Komponente, Eichfeld und Hilfsfeld. Ein solcher Term entsteht nicht durch die Variation des Eichfeld-Kubikterms!

Man erwartet, dass der Lagrange in etwa so aussehen sollte,

$$Tr[\epsilon^{\mu \nu \rho}(V_\mu\partial _\nu V_\rho -i\frac{2}{3}V_\mu V_\nu V_\rho ) + i \bar{\lambda}_a\lambda_a - 2FD ]$$

Ich würde gerne etwas Hilfe bei der Feststellung der oben genannten bekommen!

• Ein Fortschritt wäre, wenn sich die beiden Terme mit der Strukturkonstanten tatsächlich aufheben, also

Wenn

$$Tr[t_At_B]\{C_{AB'C}\lambda_{Ba} V_{B'\mu}F_C + C_{BB'C}\lambda_{Ca}V_{B'\mu}F_A\} = 0$$

Aber das oben ist nicht klar!

NB. Meine Strukturkonstanten sind definiert als$[t_A,t_B]=iC_{DAB}t_D$