Gegeben ist die Metrikγjk _
für die Oberfläche einer KugelS2
mitγ22= 1 ,γ23=γ32= 0
Undγ33=Sünde2( θ )
. Die Koordinaten sindx =
(t , r , θ , ϕ
) UndJ
Undk
überlaufenX2= θ
UndX3= ϕ
.
Deshalb bekomme ich die ChristoffelsΓ233= − Sünde( θ ) cos( θ )
UndΓ323=Γ332=cos( θ )Sünde( θ )
. Alle anderen Einträge der Christoffels sind Null.
Jetzt möchte ich die folgenden zweiten kovarianten Ableitungen in Bezug auf diese Metrik berechnen:
∇2∇2YlM=∇2(∂θYlM+Γ323Y3M−Γ323Yl3)∇3∇3YlM= . . .∇3∇2YlM= . . . ,
bei dem die
YlM
bezeichnet die sphärischen harmonischen Funktionen. In der ersten Zeile habe ich nur die Definition für die kovariante Ableitung verwendet und alle Christoffels, die Null sind, herausgekürzt.
Die Lösungen sollten sein:
∇2∇2YlM=∂2∂θ2YlM∇3∇3YlM= (1Sünde2( θ )∂2∂ϕ2+cos( θ )Sünde( θ )∂∂θ)YlM∇3∇2YlM= (∂∂θ∂∂ϕ−cos( θ )Sünde( θ )∂∂ϕ)YlM.
Weiß jemand, wie man diese Ausdrücke bekommt?