Kraft und Schwerpunktbeschleunigung

Wenn die Kraft am Ende auf die Stange drückt, bewirkt sie eine Drehung der Stange.

Der Stab verhält sich lokal wie ein punktförmiges Objekt, dessen Masse kleiner ist als die Masse des Stabs:$m_{eff}=F/a_{end}$.

Die gleiche Kraft$F$bewirkt eine schnellere Bewegung des Gelenkkopfes, verglichen mit dem zentralen Kraftfall, also der Kraft$P=F.dx/dt$ist größer.

Der Massenschwerpunkt beschleunigt langsamer als das Stangenende, um$a=F/m$, genauso wie im zentralen Fall.

Die Mehrarbeit wird mit Gewalt erledigt$F$durch schnellere Bewegung wird in kinetische Rotationsenergie investiert$E_r=1/2.I.\omega^2$.

Der entscheidende Punkt ist die Einhaltung aller 3 grundlegenden Erhaltungssätze für Energie, Impuls und Drehimpuls.

Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass sogar ein sich linear bewegendes Objekt einen Drehimpuls ungleich Null hat, wenn es sich entlang einer Linie befindet, die nicht den Ursprung des Koordinatensystems passiert.

Kann mir jemand intuitiv erklären, warum das so ist?

Es ist nicht einfach zu sagen, was Sie für intuitiv halten würden und was nicht. Ich habe meine Vermutung angestellt und gebe eine Antwort ohne Gleichungen und mit einigen Aussagen, von denen ich glaube, dass Sie sie intuitiv finden könnten. Sie müssen jedoch einen Preis zahlen. Ich werde auf mehrere Figuren verweisen, für deren Zeichnung ich keine Zeit habe, und überlasse es Ihnen, sie zu rekonstruieren.

Eine leichte Änderung der Notation. Die Kraft in Fall 1 werde ich nennen$F_1$, die in Fall 2$F_2$. Andere Kräfte werde ich gleich definieren.

Sie stimmen zu, dass in Fall 1 die Stange einfach ohne Drehung beschleunigt und ihr Com eine Beschleunigung hat$F_1/m$. Ihre Frage bezieht sich darauf, was in Fall 2 passieren wird.

1) Fügen Sie Fall 2 zwei weitere Kräfte hinzu:$F_1$und sein Gegenteil (an der gleichen Stelle angewendet), das ich nennen werde$F_3$. Ich bitte Sie, dem zuzustimmen

Die Addition zweier entgegengesetzter Kräfte, die an derselben Stelle aufgebracht werden, hat keine Wirkung.

2) Betrachten Sie das System der drei Kräfte als aus Kraft zusammengesetzt$F_1$allein plus das Paar gebildet durch$F_2$Und$F_3$. Ich gehe von einer weiteren Vermutung aus:

Die Wirkung mehrerer Kräfte auf den Stab ist die geometrische (kinematische) Zusammensetzung der einzelnen Wirkungen jeder einzelnen.

Da kennen wir die Wirkung von$F_1$Es bleibt uns überlassen, die Wirkung des Paares zu untersuchen$(F_2,F_3)$.

3) Betrachten Sie eine andere Kraft$F_4$gleich$F_3$aber auf das untere Ende der Stange angewendet. Ich werde folgendes beweisen:

Aktionen von Paaren$(F_2,F_3)$Und$(F_1,F_4)$sind identisch.

Um dies zu beweisen, betrachten Sie ein anderes Paar:$(F_3,F_5)$Wo$F_5$steht direkt gegenüber$F_4$. So$(F_3,F_5)$ist weltweit das Gegenteil von$(F_1,F_4)$.

Betrachten Sie das System, das von 4 Kräften gebildet wird:$(F_2,F_3,F_3,F_5)$(Gewalt$F_3$wird verdoppelt). Es kann als von zwei Subsystemen gebildet angesehen werden:$(F_2,F_5)$Und$(F_3,F_3)$.

Der Effekt von$(F_3,F_3)$bekannt: eine Beschleunigung vom Betrag nach links$2F_3/m$. Bezüglich$(F_2,F_5)$Ich bitte Sie, eine andere Annahme zu akzeptieren

zwei Kräfte gleicher Größe und Richtung, die an verschiedenen Punkten angreifen, haben die gleiche Wirkung wie eine Kraft doppelter Größe, die im Mittelpunkt angreift.

So$(F_2,F_5)$ist äquivalent zu$2F_1$, das ist das Gegenteil von$2F_3$. Dann das Gesamtsystem$(F_2,F_3,F_3,F_5)$hat eine Nullwirkung. Aber denken Sie daran, dass es aus zwei Paaren gebildet wurde:$(F_2,F_3)$Und$(F_3,F_5)$und Sie sehen, dass sich beide Paare gegenseitig aufheben. Seit$(F_3,F_5)$ist gegenüber$(F_1,F_4)$das haben wir gezeigt$(F_2,F_3)$Und$(F_1,F_4)$sind völlig gleichwertig.

Dies ist ein nicht triviales Ergebnis, das haben wir gezeigt

Das Verschieben eines Paares in eine andere Position (wobei alle Parameter unverändert bleiben: Größe und Richtung der Kräfte und relative Position der Angriffspunkte) lässt seine Wirkung unverändert.

4) Zusammenfassend:$(F_2,F_3)$Und$(F_1,F_4)$sind gleichwertig. Dann hat die gleichzeitige Anwendung von beiden die doppelte Wirkung von jedem Paar allein. Aber das Anwenden beider ist dasselbe wie das Anwenden eines Paares von Doppelarmen:$(F_2,F_4)$. Welche Wirkung wird es haben? Ich kann mich auf die Symmetrie des Staates berufen

Ein paar Kräfte, die symmetrisch zu Com angeordnet sind, bewirken keine Bewegung, sondern nur eine Winkeldrehung um ihn herum.

Dann können wir schließen, dass dasselbe passiert, wenn nur eines der Paare$(F_2,F_3)$Und$(F_1,F_4)$existiert. Beide halten die Verbindung ungestört, was eine Winkelbeschleunigung der Stange um sie herum verursacht. Ein nicht intuitives Ergebnis!

5) Und jetzt sind wir am Ende. Das haben wir gesehen$F_2$ist äquivalent zu$F_1$plus paar$(F_2,F_3)$. Ersteres bewirkt eine Beschleunigung von com, gleich$F_1/m$. Letzteres (das Paar) hat keine Auswirkung auf com, verursacht jedoch eine Winkelbeschleunigung um es herum. Dann ist dies die Wirkung von$F_2$allein, wir waren auf der Suche.