Ich lese ein Buch über analytische Mechanik auf Lagrange. Ich bekomme eine ungefähre Vorstellung von der Methode: Wir können beliebige Koordinaten verwenden und die kinetische Energie aufschreiben und Potenzial in Bezug auf die allgemeinen Koordinaten, so wird die Lagrange-Funktion angegeben als . Sagen wir zum Beispiel, der Lagrange ist
wenn es nicht Null ist, was ist das? und was ist die physikalische Bedeutung von ?
Ihre Verwirrung besteht wirklich nur darin, die Notation zu verstehen, die für partielle Ableitungen weit verbreitet ist.
Der Einfachheit halber beschränke ich die Diskussion auf ein System mit einem Koordinatenfreiheitsgrad . In diesem Fall ist die Lagrange-Funktion eine reellwertige Funktion zweier reeller Variablen, die wir suggestiv mit den Symbolen kennzeichnen Und . Mathematisch würden wir schreiben Wo . Betrachten wir das einfache Beispiel
Um es noch einmal zusammenzufassen: Wenn wir diese Derivate nehmen, denken wir nur an die Symbole Und sind nur Bezeichnungen für die verschiedenen Argumente der Lagrange-Funktion.
Sie könnten jedoch fragen: „Wenn Und sind nur Bezeichnungen, welche Beziehung haben sie dann zu Position und Geschwindigkeit?" Die Antwort lautet, nachdem wir sie als Bezeichnungen für die Argumente von behandelt haben um die entsprechenden Ableitungen zu nehmen, werten wir dann die resultierenden Ausdrücke auf a aus , die Position und Geschwindigkeit einer Kurve zu einem Zeitpunkt , um Bewegungsgleichungen zu erhalten.
Zum Beispiel, wenn Sie das Beispiel von nehmen mit der ich angefangen habe, bekommen wir
Dies ist ein etwas unintuitiver Schritt im Lagrange-Formalismus und den Euler-Lagrange-Gleichungen. Beachten Sie, dass Sie die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion in Bezug auf eine Koordinate nehmen. Genau genommen sollten Sie bei einer partiellen Ableitung angeben, was Sie konstant halten.
Obwohl wir uns normalerweise eine Koordinate und ihre Zeitableitung als zusammenhängend vorstellen, variieren wir bei der Anwendung des Euler-Lagrange-Formalismus die verallgemeinerten Koordinaten und Geschwindigkeiten unabhängig voneinander . Das bedeutet, dass
Also in deinem Beispiel , In der Tat. Hier verwende ich die Klammern, um dies ausdrücklich zu vermerken wird konstant gehalten.
Ich füge nur einen allgemeinen Kommentar zur Verwirrung bezüglich unabhängiger Variablen hinzu.
Eine Lagrange-Funktion ist eine Funktion von zwei Sätzen unabhängiger Variablen – verallgemeinerte Koordinaten und verallgemeinerte Geschwindigkeiten. Wenn die Lösung (dh die Bewegung) unter einem gegebenen Satz von Anfangsbedingungen gegeben ist, wird natürlich eine Beziehung zwischen ihnen hergestellt – die verallgemeinerte Geschwindigkeit ist bekannt, wenn die verallgemeinerte Koordinate gegeben ist. Aber das bedeutet nicht, dass diese beiden keine unabhängigen Variablen sind. Sie sind so unabhängig wie zwei unabhängige Variablen ein Paar linearer simultaner Gleichungen erfüllen. Wenn Sie sich eine der Gleichungen ansehen, drücken Sie natürlich aus als Funktion von , aber das heißt nicht Und sind keine unabhängigen Variablen. Wenn Sie sie lösen, kennen Sie in ähnlicher Weise die numerischen Werte für beide Und , das heißt nicht Und sind keine Variablen, sondern Zahlen. Hier, in diesem Fall, Und sind im gleichen Sinne unabhängig - im Prinzip kann ein Teilchen beliebig sein , völlig unabhängig von seiner Geschwindigkeit, und umgekehrt - im Allgemeinen sind sie nicht voneinander abhängig (im Gegensatz zu Und , sagen). Aber natürlich, wenn wir für sie lösen und einen Antrag stellen , für einen bestimmten Fall werden sie verwandt.
Verwenden Sie die Euler-Lagrange-Bewegungsgleichung !
QMechaniker