Landau und mittlere Feldtheorie

Ich habe oft gehört, dass die Landau-Theorie der Phasenübergänge eine Mean-Field-Theorie ist. Warum ist das so? Was ist der Zusammenhang zwischen den beiden Ideen? Man betont die Symmetriebrechung und man mittelt die Wechselwirkungen zwischen allen Teilchen. Naiverweise scheinen sie nicht verwandt zu sein.

Die Landau-Theorie ist nur eine Erweiterung der freien Energie in der Nähe eines Phasenübergangs zweiter Ordnung in Potenz des Parameters kleiner Ordnung. Es basiert auf Symmetrieüberlegungen, sobald Sie den Ordnungsparameter identifiziert haben. Eine Mean-Field-Methode generiert eine effektive Theorie, sobald Sie den Ordnungsparameter identifiziert haben und annehmen, dass er in einer ansonsten Quantenfeldtheorie klassisch ist (Mean-Field-Theorie ist sowieso älter als QFT). Diese Methode erlaubt es, aus mikroskopischen Modellen die Koeffizienten im Landau-Funktional zu berechnen.
Anders gesagt, das Landau-Funktional ist die effektive Theorie, die Sie aus der Quantenfeldtheorie in der Annäherung an das mittlere Feld erhalten.

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Die „Mean-Field-Theorie“ ist eine Theorie, die besagt: „Machen Sie sich in erster Näherung keine Gedanken darüber, wo sich die Teilchen befinden und wie sie zusammengeballt sind; sagen Sie einfach die Nettowirkung aller anderen Teilchen auf die Energie eines beliebigen Teilchens wird durch einen Durchschnitt über alle anderen Partikel gegeben, und Sie erhalten die gleiche Antwort, egal welches Partikel Sie auswählen". Dies tut die Landau-Methode, wenn sie behauptet, dass die freie Energie zusätzlich zu externen Einschränkungen wie der Temperatur eine Funktion eines einzelnen internen Parameters (des Ordnungsparameters) ist.

Die tiefe Beziehung zwischen mittleren Feldtheorien (MFT) und der Landau-Theorie von Phasenübergängen wurzelt in zwei allgemeinen Merkmalen beider Ansätze (die nicht auf die Untersuchung von Übergängen zweiter Ordnung beschränkt sind):

  1. beide können in Abhängigkeit vom Ordnungsparameter sowie von anderen thermodynamischen Variablen in Form eines erzeugenden Funktionals (freie Landau-Energie oder mittlere Feldverteilungsfunktion) gegossen werden;
  2. in beiden Fällen ist ein solches Funktional eine analytische Funktion des Ordnungsparameters. Dies ist ein Postulat der Landau-Theorie und eine Folge der effektiven Ein-Teilchen-Approximation im Falle der MFT.

Infolgedessen haben beide Theorien viele Merkmale gemeinsam, einschließlich der gleichen Werte für die kritischen Exponenten in der Nähe eines kritischen Punkts.

Soweit ich weiß, verwendet die Landay-Theorie die Entwicklung der freien Energie im Ordnungsparameter in der Nähe des Phasenübergangs, was zu den gleichen Ergebnissen führt wie die Mean-Field-Theorie (in der Nähe des Phasenübergangs) (http://galileo.phys . Virginia.edu/~pf7a/rg1.pdf ). In realen Systemen ist die freie Energie typischerweise keine analytische Funktion des Ordnungsparameters in der Nähe des kontinuierlichen Phasenübergangs.

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