Lokale Natur einer Oberflächenladungsdichte

Grenze S eines Hohlraums in einem sehr großen (perfekten) Leiter ist eine zusammenhängende kompakte (glatte) Oberfläche. Eine positive Punktladung + Q wird in diesen Hohlraum gelegt. Aus dem Gesetz von Gauß wissen wir, dass die gesamte induzierte Ladung auf der Oberfläche S Ist − Q . Allerdings nimmt die Oberflächenladungsdichte zu S notwendig lokal negativ (an jedem Punkt von S )? Wie kann man diese Behauptung beweisen (oder widerlegen)?

Ich suche nach einem präzisen, robusten Argument, nicht nach Antworten, die mit der Hand winken.

Antworten (1)

Nehmen Sie das Gegenteil an, nehmen Sie an, dass es einen Punkt gibt, an dem die lokale Ladungsdichte positiv ist, sagen wir Punkt A.

Nach dem Gesetz von Gauß ist nun die Gesamtladung auf der inneren Oberfläche negativ. Es muss also einen Punkt B geben, an dem die lokale Ladungsdichte negativ ist (andernfalls ist die Nettoladung positiv).Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Betrachten Sie nun die Feldlinie von Punkt A. Sie wird vom Leiter ausgehen und kann zwei Möglichkeiten haben:

1) Es entspricht der angegebenen Ladung: nicht möglich, da die angegebene Ladung positiv ist.

2)Es trifft irgendwann auf den Dirigenten.

Da der erste Fall unmöglich ist, müssen wir den zweiten annehmen. Die blaue Kurve ist die Feldlinie.

Jetzt bedenke ∮ E → ⋅ D → X über die farbige Schleife (blau und orange) wie in der Abbildung gezeigt. Wir können dieses Integral in zwei Teile teilen:

1) A nach B innerhalb des Leiters (blaue Kurve): Da dies eine Feldlinie ist (gemäß der zweiten Möglichkeit), ist das Integral eine reelle Zahl ungleich Null .

2) B nach A innerhalb des Leiters (orangefarbene Kurve): Da das Feld Null ist, ist das Integral Null.

Also endlich haben wir

∮ E → ⋅ D → X = reelle Zahl ungleich Null

was auf den ersten Blick der Tatsache widerspricht, dass das E-Feld konservativ ist. Widerspruch. Erledigt!

Kurz und genial! Das wichtige Detail, das hervorzuheben ist, ist, dass der Hohlraum begrenzt ist (daher die Annahme über die kompakte Oberfläche), andernfalls könnte die Feldlinie ins Unendliche gehen.
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