Lokale und globale detaillierte Bilanz

In Nicht-Eq-Stat-Mechs ist der obige Kommentar nicht das, was sie bedeuten.

Wir müssen 3 verschiedene Dinge feststellen:

1. Gleichgewicht

Dies ist die Bedingung, dass alle Übergänge in und aus einem Zustand „ausgeglichen“ sind, dh

$$\sum_x p(x)k(x,y)=p(y) \quad \forall y$$

Dies gewährleistet einen stationären Zustand, aber sonst nichts

2. Detaillierte Bilanz

Dies ist die Bedingung, dass alle Übergänge zwischen jedem Zustandspaar, wie der Name schon sagt, „im Detail“ ausgeglichen sind. Das bedeutet (für ganz normale gerade Variablen bzgl. Zeitumkehr zB Position, Knoten, Zustand etc. [nicht Impulse, Magnetfelder]), dass es einen stationären Zustand gibt und es in dieser Verteilung keinen stationären Strom (und keine Entropieproduktion) gibt, dh

$$p(x)k(x,y)=p(y)k(y,x) \quad \forall x,y$$

3. Lokale detaillierte Bilanz

Dies ist ein etwas anderes Konzept, das, obwohl verwandt, einige physikalische Eigenschaften über die Eigenschaften stochastischer Prozesse hinaus hinzufügt.

Wenn Sie ein detailliertes Gleichgewicht haben und das System physikalisch ist, haben Sie die Verteilung als Gleichgewichtsverteilung

$$\frac{k(x,y)}{k(y,x)}=\frac{p^{eq}(y)}{p^{eq}(x)}=\exp\left(-\frac{\Delta U}{k_BT}\right)$$

Wo$U$ist die innere Energie des Systems. Es wird davon ausgegangen, dass die Umgebung das stochastische Verhalten als Wärmebad oder ähnliches mit einer definierten Temperatur (dh im Gleichgewicht selbst) bereitstellt, das keine Arbeit am System leistet (es ändert nicht seinen Hamilton-Operator), sodass die Änderung der inneren Energie Wärme ist zur/von der Umgebung (abhängig von Ihrer Vorzeichenkonvention). Als solches haben Sie

$$\frac{k(x,y)}{k(y,x)}=\exp(\Delta S)$$

Wo$\Delta S$ist die Entropie in/assoziiert mit der Umgebung vom Übergang$x\to y$.

Lokales detailliertes Gleichgewicht ist die Bedingung, dass diese Beziehung zwischen dem Verhältnis der Übergangsraten zum Exponential der Entropieproduktion in der Umgebung gilt, ohne sich darum zu kümmern, ob das System dem detaillierten Gleichgewicht gehorcht (dh einen stationären Zustand hat, der der Gleichgewichtszustand ist).

Historisch gesehen wird es als „lokales“ detailliertes Gleichgewicht betrachtet, weil Sie das detaillierte Gleichgewicht brechen können, indem Sie ein Teilchen (oder was auch immer) mit zwei Gleichgewichtsbädern mit unterschiedlichen Temperaturen (oder chemischen Potentialen im großkanonischen Ensemble) verbinden und dennoch die Entropieproduktion zuverlässig identifizieren zu einem der Bäder 'lokal', da die Wärme über die noch genau definierte Temperatur abgegeben wird. Allgemeiner kann das, was Sie sagen, angesichts eines allgemeinen Störfelds, das ein Nichtgleichgewichtsverhalten verursacht (dh Sie können es nicht an einen Hamilton-Operator binden; Beispiele umfassen nicht-konservative (wegabhängige) Kräfte), lokal so behandelt werden, als ob es auftritt aus einem Potential, das Sie aufschreiben können, assoziieren Sie es mit einer Energieänderung, die Sie als Wärme identifizieren und als solche mit der Entropieerzeugung im Bad in Verbindung bringen.http://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.28.1655 . Vielleicht könnten Sie es intuitiver so betrachten: Das System kümmert sich nicht darum und kann nicht unterscheiden, ob eine Kraft aus einem Hamilton-Operator entsteht oder nicht, solange Sie die Zeiten klein genug betrachten (und daher würde man Gebietsschemas annehmen: dh lokales detailliertes Gleichgewicht) und so weiter Hitze sieht genauso aus; reihen Sie einfach eine Menge dieser kleinen Änderungen in diesem Pseudo-Hamiltonian aneinander und Sie erhalten das Ergebnis für einen ganzen Pfad.

Wenn Sie einen detaillierten Kontostand haben, haben Sie einen Kontostand und einen lokalen detaillierten Kontostand. In Nicht-Eq-Stat-Mechs haben Sie im Allgemeinen immer eine lokale detaillierte Balance.