Magnetische Monopole in der Feldtheorie

Sie können dem Lagrange-Operator nicht einfach einen Term hinzufügen, um die übliche magnetische Ladung der elektromagnetischen Eichtheorie anzugeben. Der Grund ist ziemlich einfach: Die Bewegungsgleichung für einen magnetischen Vierstrom$j_m$Ist$\mathrm{d}F = j_m$. Aber$\mathrm{d} F = \mathrm{d}\mathrm{d} A = 0$ unabhängig von den Bewegungsgleichungen . Das einfache Hinzufügen eines Begriffs funktioniert also nicht.

Der erste Ausweg besteht darin, Monopole als topologische Objekte zu betrachten, deren Ort von der Raumzeit entfernt ist, auf der die Eichtheorie betrachtet wird (oder "wo das Eichfeld singulär ist"). Wie dies zB zur Dirac-String- und Ladungsquantisierung führt, beschreibe ich in dieser Antwort von mir . Dem Lagrangian wird kein Term hinzugefügt, das Auftreten des Monopols ist rein topologischer Natur, und$\mathrm{d}F = 0$überall dort, wo es definiert ist.

Ein anderer Ausweg ist die Einführung eines offensichtlich elektromagnetischen dualen Lagrange-Operators mit einem elektrischen Viererpotential$A$und ein magnetisches Vierpotential$B$leider mit einer nicht-kanonischen Wahl des raumartigen Vierervektors$n$wo der Lagrangian jetzt ist

$$\begin{align} L = \frac{1}{2n^2} & \left( - \mathrm{d}A(n) \cdot {\star}\mathrm{d}B(n) + \mathrm{d} B(n) \cdot \mathrm{d}{\star}A(n) - \mathrm{d}A(n)\cdot{\star}\mathrm{d}A(n) - \mathrm{d}B(n)\cdot {\star}\mathrm{d}B(n)\right) \\ & - A\cdot j_e - B\cdot j_m \end{align}$$ Wo $j_e,j_m$sind die elektrischen/magnetischen Ströme, $X(n)$bezeichnet die Kontraktion der Form $X$mit dem Vektor $n$in seinem ersten Steckplatz/Index, und alle $\cdots$sind die üblichen inneren Minkowski-Produkte von (Co)Vektoren. Die Feldstärke wird nun durch mehrere äquivalente Formeln angegeben, eine davon ist $F = \mathrm{d}A - (n\cdot\partial)^{-1} ({\star} n\wedge j_m)$, wo der Ausdruck $(n\cdot\partial)^{-1}$der Integraloperator, dessen Kern die Greensche Funktion ist $(n\cdot \partial) f = 0$(Zumindest ist dies aus Konsistenzgründen die ursprüngliche Feldstärke $\mathrm{d}A$für $j_m = 0$!). Diese Lösung (die ich möglicherweise geschlachtet habe, um sie in meine Notation zu übertragen) stammt von Zwanziger in Local-Lagrangeian Quantum Field Theory of Electric and Magnetic Charges .

Ein dritter Weg ist zu postulieren, dass das elektromagnetische$\mathrm{U}(1)$kommt vom Brechen von a$\mathrm{SU}(2)$durch einen Higgs-ähnlichen Mechanismus, dann gibt es 't Hooft-Polyakov-Monopole , deren Fernfeld wie ein magnetischer Monopol für das Ununterbrochene aussieht$\mathrm{U}(1)$was aber nicht erfordert, dass der Ort des Monopols entfernt wird (da er sich nicht tatsächlich an einem Punkt befindet, ist das Feld überall nicht singulär). Dies bringt jedoch weitere Modifikationen in die Theorie ein, weil man nun zusätzlich die massiven Bosonen der gebrochenen Symmetrie hat.