Warum verschwinden einige der Terme des Gradienten des Skalarprodukts zwischen der Geschwindigkeit und dem magnetischen Vektorpotential?

Sie ignorieren, dass Sie in der arbeiten$2N+1$dimensionaler Phasenraum$\{\boldsymbol q, \boldsymbol {\dot q}, t\}$. Nur entlang der Ortskurve von Punkten in diesem Phasenraum erfüllen die Euler-Lagrange-Gleichungen das$\boldsymbol {\dot q}$ist in der Tat die zeitliche Ableitung von$\boldsymbol q$. Bis Sie zu dieser Lösung kommen, müssen Sie behandeln$\frac{\partial \dot q_j}{\partial q_i}$Und$\frac{\partial q_j}{\partial \dot q_i}$als identisch gleich Null. Das bedeutet, dass

Eine andere Betrachtungsweise: Using$\partial/\partial q_i$Und$\partial/\partial \dot q_i$ist in diesem Zusammenhang ein Notationsmissbrauch (und noch schlimmer, die Verwendung von$\nabla$), da die verallgemeinerte Geschwindigkeit im Allgemeinen mit der verallgemeinerten Position entlang der Lösung der Euler-Lagrange-Gleichungen variiert. Mit anderen Worten,$\nabla v$nicht identisch Null ist. Wie bei anderen mathematischen Notationsmissbräuchen kann diese Notation sehr praktisch sein, aber sie wird Sie in Schwierigkeiten bringen, wenn Sie nicht erkennen, dass es sich um einen Notationsmissbrauch handelt.