Massenverhältnis des Doppelsternproblems

Question

Massenverhältnis des Doppelsternproblems

Physik
Doppelsterne
Winkelgeschwindigkeit
klassische Mechanik
Hausaufgaben-und-Übungen

Der Zeiger

Ich studiere derzeit Klassische Mechanik , fünfte Auflage, von Kibble und Berkshire. Problem 2 von Kapitel 1 lautet wie folgt:

Es wird beobachtet, dass sich die beiden Komponenten eines Doppelsterns in Radienkreisen bewegen $r_1$ Und $r_2$ . Wie ist das Verhältnis ihrer Massen? (Hinweis: Schreiben Sie ihre Beschleunigungen als Winkelgeschwindigkeit der Rotation auf, $\omega$ .)

Die einzigen relevanten Informationen, die das Kapitel bereitstellt, lauten wie folgt:

Isolieren wir die beiden Körper von aller anderen Materie und vergleichen ihre gegenseitig induzierten Beschleunigungen, so gilt nach (1.1) und (1.3)

$\begin{matrix} (1.7) & M_{1} A_{1} = - M_{2} A_{2} \end{matrix}$ $m_1 \mathbf{a}_1 = - m_2 \mathbf{a}_2 \tag{1.7}$

Da das Lehrbuchkapitel nicht genügend Informationen enthält, um dieses Problem zu lösen, habe ich auf den Wikipedia- Artikel zur Winkelgeschwindigkeit verwiesen. Lineare Geschwindigkeit schreiben als $v = \omega r$ , wir bekommen

M_{1} A_{1} = - M_{2} A_{2}

$m_1 \mathbf{a}_1 = -m_2 \mathbf{a}_2$

∴ M_{1} (R_{1} \frac{D ω_{1}}{D T}) = - M_{2} (R_{2} \frac{D ω_{2}}{D T})

$\therefore m_1 \left( r_1 \dfrac{d \omega_1}{dt} \right) = -m_2 \left( r_2 \dfrac{d \omega_2}{dt} \right)$

\Rightarrow \frac{M_{1}}{M_{2}} = \frac{(- R_{2} \frac{D ω_{2}}{D T})}{(R_{1} \frac{D ω_{1}}{D T})}

$\Rightarrow \dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{\left( -r_2 \dfrac{d \omega_2}{dt} \right)}{\left( r_1 \dfrac{d \omega_1}{dt} \right)}$

Die einzige Möglichkeit, die ich sehen kann, wäre, anzunehmen, dass die Winkelgeschwindigkeiten $\omega_1$ Und $\omega_2$ sind gleich (ich habe keine Ahnung, ob dies durch die Physik eines " Doppelsterns " impliziert wird):

∴ \frac{M_{1}}{M_{2}} = - \frac{R_{2}}{R_{1}}

$\therefore \dfrac{m_1}{m_2} = - \dfrac{r_2}{r_1}$

Die Antwort soll lauten $\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{r_2}{r_1}$ .

Warum sind die Winkelgeschwindigkeiten gleich? Und was ist mit dem Minuszeichen passiert? Ich würde es sehr schätzen, wenn sich die Leute bitte die Zeit nehmen würden, dies zu klären.

PM 2Ring

Siehe auch en.wikipedia.org/wiki/Two-body_problem & en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_two-body_problem IMHO machen diese Artikel jedoch nicht klar, warum die Winkelgeschwindigkeiten gleich sein sollten.

Der Zeiger

Warum die Ablehnung und die enge Abstimmung?

Der Zeiger

@PM2Ring Weißt du zufällig, warum die Winkelgeschwindigkeiten gleich sind?

Der Zeiger

@PM2Ring Ok, danke!

ProfRob

Weil die Binärdatei eine Umlaufzeit hat.

PM 2Ring

Diese Frage ist eindeutig eine konzeptionelle Frage. Es soll laut Hausaufgabenordnung nicht geschlossen werden.

Der Zeiger

@PM2Ring Es ist hilfreich. Ich studiere das Lehrbuch der klassischen Mechanik, um die klassische Mechanik zu lernen . Das Problem ist, dass die bisher von den Autoren gestellten Probleme nicht mit den Informationen des zugehörigen Lehrbuchkapitels beantwortet werden können. In einer solchen Situation ist man gezwungen, fast alles aus eigener, zusätzlicher Recherche zu lernen; und wie Ihre Wikipedia-Artikel gezeigt haben, ist dies für einen Neuling sehr schwierig, da er die Details nicht vorher kennen kann, da er ein Neuling ist.

Antworten (3)

Massenverhältnis des Doppelsternproblems

Siehe auch en.wikipedia.org/wiki/Two-body_problem & en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_two-body_problem IMHO machen diese Artikel jedoch nicht klar, warum die Winkelgeschwindigkeiten gleich sein sollten.
@PM2Ring Weißt du zufällig, warum die Winkelgeschwindigkeiten gleich sind?
Diese Frage ist eindeutig eine konzeptionelle Frage. Es soll laut Hausaufgabenordnung nicht geschlossen werden.
@PM2Ring Es ist hilfreich. Ich studiere das Lehrbuch der klassischen Mechanik, um die klassische Mechanik zu lernen . Das Problem ist, dass die bisher von den Autoren gestellten Probleme nicht mit den Informationen des zugehörigen Lehrbuchkapitels beantwortet werden können. In einer solchen Situation ist man gezwungen, fast alles aus eigener, zusätzlicher Recherche zu lernen; und wie Ihre Wikipedia-Artikel gezeigt haben, ist dies für einen Neuling sehr schwierig, da er die Details nicht vorher kennen kann, da er ein Neuling ist.

PM 2Ring · Answer 1

Ihre Kernfrage scheint zu sein:

Warum sind die Winkelgeschwindigkeiten gleich?

Aus irgendeinem Grund klären Wikipedia-Artikel über das Zwei-Körper-Problem diesen wichtigen Punkt nicht. Hier sind ein paar Diagramme aus diesem Artikel:

Zwei Körper mit ähnlicher Masse umkreisen ein gemeinsames Baryzentrum außerhalb beider Körper mit elliptischen Bahnen – typisch für Doppelsterne.

Zwei Körper mit "leichtem" Massenunterschied umkreisen einen gemeinsamen Schwerpunkt. Die Größen und diese Art der Umlaufbahn ähneln dem Pluto-Charon-System (bei dem das Baryzentrum außerhalb beider Körper liegt) und dem Erde-Mond-System, bei dem das Baryzentrum innerhalb des größeren Körpers liegt.

Nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz wirkt die Gravitationskraft zwischen zwei Körpern entlang der Geraden, die ihre Massenschwerpunkte verbindet. Dies ist der Schlüssel zu Ihrer Frage nach Winkelgeschwindigkeiten.

(Es kann auch gezeigt werden, dass die Schwerkraft eines kugelsymmetrischen Körpers so wirkt, als wäre die gesamte Masse des Körpers in seinem Zentrum konzentriert, sodass wir den Körper als Punktteilchen behandeln können).

Also haben wir zwei Sterne, $S_1$ Und $S_2$ , Gravitationskraft aufeinander ausüben. Der Schwerpunkt dieses Systems muss auf der Linie liegen $S_1S_2$ die die Zentren der beiden Sterne verbindet. Wir können einen Referenzrahmen mit dem Massenmittelpunkt als Ursprung wählen, wie in den obigen Diagrammen. (Wie Rob Jeffries sagt, können wir dies wegen der Impulserhaltung tun). Also nenne ich den Schwerpunkt $O$ .

Jetzt, da die Sterne umkreisen $O$ die einzigen Kräfte, die sie aufeinander ausüben, wirken immer entlang der Linie $S_1OS_2$ , also müssen die Sterne und der Schwerpunkt kollinear bleiben, obwohl die Linie $S_1OS_2$ rotiert und kann sich in der Länge ändern (wie im Beispiel der elliptischen Umlaufbahn).

Die einzige Möglichkeit dafür sind die Winkelgeschwindigkeiten der beiden Sterne, $\omega_1$ Und $\omega_2$ , einander immer gleich zu sein. Ansonsten, $S_1OS_2$ verwandelt sich in ein Dreieck, nicht in eine gerade Linie.

Und was ist mit dem Minuszeichen passiert?

Dieses negative Vorzeichen sagt uns lediglich, dass die Positionsvektoren der beiden Sterne, $OS_1$ Und $OS_2$ zeigen in entgegengesetzte Richtungen. Das heißt, die beiden Sterne befinden sich auf gegenüberliegenden Seiten $O$ .

ProfRob · Answer 2

Ohne äußere Kräfte ist der Gesamtimpuls des Systems konstant. Das heißt, die Sterne müssen sich so anordnen, dass der Schwerpunkt am selben Ort bleibt.

Sie können dies nur tun, wenn sie mit der gleichen Periode und damit der gleichen Winkelgeschwindigkeit umkreisen, wie unten gezeigt.

Wenn das nicht der Fall wäre, dann würde der Massenschwerpunkt "herumwackeln", was eindeutig unphysikalisch ist.

Das bedeutet auch, dass Sie sofort schreiben können

M_{1} R_{1} = M_{2} R_{2} .

$m_1 r_1 = m_2 r_2\ .$ Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Ahh, es ist mir nicht in den Sinn gekommen, dass wir die Impulserhaltungsgleichung verwenden könnten. Nachdem ich den Hinweis des Autors gelesen hatte, fing ich an, über Beschleunigung nachzudenken.

Agnius Wassilauskas · Answer 3

Für Kraftgrößen ausdrücken:

M_{1} A_{1} = M_{2} A_{2}

$m_1a_1 = m_2a_2$ Die Gravitationskraft ergibt die Zentripetalbeschleunigung, wenn man sie einsetzt, ergibt sich:

M_{1} ω_{1}^{2} R_{1} = M_{2} ω_{2}^{2} R_{2}

$m_1 \omega_1 ^2r_1 = m_2 \omega_2 ^2r_2$

Für Doppelstern $\omega_1 = \omega_2$ , weil es ein rotierender Dipol ist, den jeder Punkt erreicht $2\pi$ Rotation im selben Zeitraum $T$ . Dh stellen Sie sich ein paar Leute vor, die sich an den Händen halten und sich um ihren COM drehen. Kann sich ihre Winkelgeschwindigkeit unterscheiden? Nein, sie haben dasselbe $\omega$ , sowie jeder Dipolpunkt entlang der Verbindungslinie. Überprüfen Sie dieses Bild:

ω_{1} = ω_{2} = ω_{3} = ω_{4} = ω_{5} = \dots = ω_{N}

$\omega_1 = \omega_2 = \omega_3 = \omega_4 = \omega_5 = \ldots = \omega_n$

Wo $\omega_n$ ist der n-te Punkt entlang der Linie, die zwei Körper verbindet und durch ihre Schwerpunktwinkelgeschwindigkeit geht.

Die obige Gleichung reduziert sich also auf:

M_{1} R_{1} = M_{2} R_{2}

$m_1r_1 = m_2r_2$ Das ergibt das Massenverhältnis:

\frac{M_{1}}{M_{2}} = \frac{R_{2}}{R_{1}}

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{r_2}{r_1}$

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