Mathematische Formulierung des Teilwellenfunktionskollaps

Wenn eine Wellenfunktion gegeben ist, die ein Element eines Hilbert-Raums ist H was ein Tensorprodukt zweier anderer Hilbert-Räume ist H 1 ⊗ H 2 , wie formulieren Sie die Messung der Funktion in einem der Unterräume, dh H 1 ?

Angenommen, Sie haben ein System | ψ ⟩ die aus zwei Qubits besteht | ψ 1 ⟩ ⊗ | ψ 2 ⟩ . Das System wird einer einheitlichen Operation unterzogen und gibt | ψ ' ⟩ = U | ψ ⟩ . Es soll immer noch möglich sein, nur eines der beiden Qubits zu messen, was zu einem teilweisen Zusammenbruch des Systems führen würde.

Wenn die beiden Qubits danach nicht verschränkt sind U , dann können sie als getrennt werden | ψ ' ⟩ = | ψ 1 ' ⟩ ⊗ | ψ 2 ' ⟩ . Es scheint klar, dass das Messen dh | ψ 1 ' ⟩ sollte nicht verursachen | ψ 2 ' ⟩ zusammenbrechen.

Wenn die Qubits teilweise verschränkt sind, kann es immer noch möglich sein, dass sich eines der Qubits in einer Art Überlagerung befindet. Zum Beispiel, wenn | ψ ' ⟩ = | 00 ⟩ + | 01 ⟩ + | 11 ⟩ 3 , Dann | ψ 2 ' ⟩ Der Zustand von hängt davon ab, was | ψ 1 ' ⟩ bricht zusammen. Wenn | ψ 1 ' ⟩ → | 0 ⟩ , dann könnte | ψ 2 ' ⟩ noch in einer Überlagerung sein, nämlich | 0 ⟩ + | 1 ⟩ 2 ?

Um den Teil "Formulierung" meiner Frage genauer zu spezifizieren, können Sie zB verwenden | ⟨ 0 ∣ ψ 1 ' ⟩ | 2 um die Wahrscheinlichkeit dafür zu finden | ψ 1 ' ⟩ bricht zusammen | 0 ⟩ , unter der Annahme einer normalisierten Wellenfunktion. Was wäre das Format, um zB ein einzelnes Qubit von zu messen? | ψ ' ⟩ ? Wäre es sowas wie ( ⟨ 0 | ⊗ ⟨ ψ 2 ' | ) | ψ ' ⟩ ?

Einige Erkenntnisse, mit denen ich mich befasse: der Erwartungswert eines Operators Ö wird von gegeben ⟨ ψ ∣ Ö ∣ ψ ⟩ . Wenn Ö ist ein Projektionsoperator, wie z | 0 ⟩ ⟨ 0 | (was zu a projiziert | 0 ⟩ -Basis) ist der Erwartungswert die Wahrscheinlichkeit, dass die Messung zu diesem bestimmten Ergebnis führt. Vielleicht beinhaltet die Teilmessung eines Systems also die Projektion auf einen Teilraum, der von mehreren Basiszuständen überspannt wird?

Ja, deine Intuition ist richtig. Sie können dieses „partielle“ Skalarprodukt verwenden. Da die Notation verwirrend sein kann, schlage ich vor, dass Sie Kleinbuchstaben hinzufügen, wie z. A ⟨ χ | ψ ⟩ A B wenn Sie System messen A .

Antworten (1)

Im Allgemeinen kann ein solcher "partieller Kollaps" einer Wellenfunktion nicht als das übliche Skalarprodukt ausgedrückt werden (dh mit ⟨ 0 ∣ ψ ⟩ ). Stattdessen müssen Sie den Erwartungswert des entsprechenden Projektionsoperators verwenden. Dies funktioniert für den "vollständigen Kollaps" auf einen einzigen Basiszustand, da der entsprechende Projektionsoperator nur das äußere Produkt der Basis mit sich selbst ist ( | 0 ⟩ ⟨ 0 | ).

Nachweisen:

Unter Verwendung des Beispiels, das ich oben gegeben habe, let P der Operator sein, auf den das erste Qubit projiziert wird | 0 ⟩ . Dies kann durch die Matrix dargestellt werden [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] . Angenommen, es existiert ein Basiszustand | B ⟩ das repräsentiert | ψ 1 ' ⟩ = | 0 ⟩ während | ψ 2 ' ⟩ ist unbeeinflusst. P kann dann geschrieben werden als | B ⟩ ⟨ B | . Wenn | B ⟩ ist durch die Matrix gegeben [ X j z w ] , Dann | B ⟩ ⟨ B | = [ X X ∗ X j ∗ X z ∗ X w ∗ j X ∗ j j ∗ j z ∗ j w ∗ z X ∗ z j ∗ z z ∗ z w ∗ w X ∗ w j ∗ w z ∗ w w ∗ ] . Das Gleichsetzen mit der früheren Matrix ergibt die folgenden Gleichungen:

  • z = w = 0
  • | X | 2 = | j | 2 = 1
  • X j ∗ = x ∗ y = 0

Which has no solution. Therefore, | B ⟩ does not exist.

This means that the probability of measuring part of a system must be expressed using operator expectation, ⟨ ψ ∣ P ∣ ψ ⟩ .

It is possible, however, for P to be expressed as a sum of outer products. In this case, P = | 00 ⟩ ⟨ 00 | + | 01 ⟩ ⟨ 01 | . Dies könnte als Summe von Projektionen zu jeder Basis des Unterraums verallgemeinert werden.

Natürlich können Sie es als Summe von Überlappungsquadraten entwickeln.
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