Maximaler Drehimpuls für eine Umlaufbahn in GR

Question

Maximaler Drehimpuls für eine Umlaufbahn in GR

vernachlässigbare_Singularität

[Die Referenz für diese Frage ist das Buch Gravitation von Misner, Thorne & Wheeler.]

Die Bahnen massiver Teilchen um einen kugelsymmetrischen Körper werden durch das effektive Potential bestimmt

\tilde{v} (\tilde{L}, R) = (1 - \frac{2 M}{R}) (1 + \frac{{\tilde{L}}^{2}}{R^{2}})

$\tilde{V}(\tilde{L}, r) = \left( 1 - \frac{2M}{r}\right) \left( 1 + \frac{\tilde{L}^2}{r^2}\right)$ wo die Orbitalinvariante

\tilde{L}

$\tilde{L}$ ist der Drehimpuls pro Ruhemasseneinheit

\frac{L}{μ}

$\frac{L}{\mu}$ .

Die Frage ist, ob es eine Obergrenze gibt $\tilde{L}$ für gebundene Bahnen?

Ich denke folgendes: In der Newtonschen Physik ist der Drehimpuls unbeschränkt. Allerdings wissen wir aus der Speziellen Relativitätstheorie, dass es eine Obergrenze für die Geschwindigkeit jedes Teilchens gibt. Da hängt der Drehimpuls zusammen $\dfrac{d\phi}{dt}$ , naiv verwenden

R \frac{D ϕ}{D T} \leq C

$r \frac{d\phi}{dt} \leq c$

gibt mir,

\tilde{L} \leq \tilde{E} \frac{R^{2}}{R - 2 M}

$\tilde{L} \leq \tilde{E} \frac{r^2}{r- 2M}$

Wie geht es hier weiter?

John Rennie

Für ungebundene Trajektorien kann der Drehimpuls da natürlich beliebig hoch werden

p

$p$ beliebig hoch sein kann. Denken Sie speziell an gebundene Umlaufbahnen?

vernachlässigbare_Singularität

@JohnRennie Ja. Danke . Ich habe das entsprechende Edit gemacht.

Antworten (1)

Maximaler Drehimpuls für eine Umlaufbahn in GR

Für ungebundene Trajektorien kann der Drehimpuls da natürlich beliebig hoch werden $p$ beliebig hoch sein kann. Denken Sie speziell an gebundene Umlaufbahnen?
@JohnRennie Ja. Danke . Ich habe das entsprechende Edit gemacht.

John Rennie · Answer 1

Dies stellt sich als eine wirklich langweilige Antwort heraus. Wir können die beiden Kreisbahnen finden, indem wir die Maxima und Minima des effektiven Potentials finden, und wir erhalten:

\begin{matrix} (1) & R = \frac{L^{2}}{2 M} (1 \pm \sqrt{1 - \frac{12 M^{2}}{L^{2}}}) \end{matrix}

$r = \frac{L^2}{2M}\left(1 \pm \sqrt{1 - \frac{12M^2}{L^2}}\right) \tag{1}$

bei dem die $+$ gibt die äußere stabile Umlaufbahn und die $-$ ergibt die innere instabile Umlaufbahn. Beachten Sie, dass beide Umlaufbahnen nur für existieren $L^2 \ge 12M$ , was das erwartete Ergebnis für die innerste stabile Umlaufbahn liefert $r = 6M$ .

Wie auch immer, wenn wir die Grenze des Großen nehmen $L$ wir finden:

R \propto L^{2}

$r \propto L^2$

Also können wir machen $L$ so groß, wie wir wollen, indem wir den Orbitalradius so groß machen, wie wir wollen.

Dies ist leicht zu verstehen, wenn man sich die klassische Umlaufbahn ansieht. Die Bahngeschwindigkeit fällt mit dem Bahnradius ab $v = \sqrt{GM/r}$ So $\omega=\sqrt{GM/r^3}$ , aber das Trägheitsmoment steigt an $I=mr^2$ . Setzen Sie alles zusammen und Sie erhalten $L=I\omega=m\sqrt{GMr}$ .

Maximaler Drehimpuls für eine Umlaufbahn in GR

vernachlässigbare_Singularität

John Rennie

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John Rennie

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