Ableitung der Reichweitengleichung und der maximalen Schadensbedingung

Ein schräg geschossener Ball$0\leq\theta\leq \pi/2$mit Geschwindigkeit$\bar{v}\equiv(v_x,v_y)=V (\cos\theta,\sin\theta)$, wird eine (horizontale) Distanz erreichen$d=v_x t$, Wo$t= 2 v_y / g$ist die Zeit, die der Ball benötigt, um aufzusteigen und wieder auf den Boden zurückzukehren, was der doppelten Zeit entspricht, die erforderlich ist, um von einer (vertikalen) Geschwindigkeit gleich Null (bei maximaler Höhe) auf die maximale Geschwindigkeit zu beschleunigen$v_y$Im Erdgeschoss. (Beachten Sie, dass, wenn Sie etwas hochwerfen, die gleiche Zeit benötigt wird, um die maximale Höhe zu erreichen, wie es dauert, von der maximalen Höhe zum Start zurückzukehren.) Wenn Sie diese Gleichungen zusammennehmen, erhalten Sie:

$$d=\frac{2v_xv_y}{g}$$

Nach jedem Aufprall wird die vertikale Geschwindigkeit um einen Faktor verringert$e=0.8$.

Also der Abstand danach$n$springt wird:

$$d(n,\theta)=\frac{2v_xv_y}{g}(1+e+e^2+...+e^n)=\frac{V^2\sin 2\theta}{g}\frac{1-e^{n+1}}{1-e}$$

Angenommen, die Startgeschwindigkeit$V$fest ist (kann nicht angepasst werden), haben wir$V^2/g=30\textrm{m}$aus der Frage (maximale Distanz ohne Bounce wird erreicht für$\theta=45˚$)

Die Frage fragt nach dem Startwinkel, bei dem dem Ziel maximaler Schaden zugefügt wird. Dies entspricht dem Ball, der mit maximaler kinetischer Energie ankommt. Wir suchen also nach Lösungen$n, \theta$die befriedigen:

$$45 \textrm{m}=d(n,\theta)\leftrightarrow \sin 2\theta = \frac{3(1-e)}{2(1-e^{n+1})}=:f(n)\tag{1}$$ $$E_\textrm{kin}\propto v_x^2+e^{2n}v_y^2 \propto \cos^2\theta + e^{2n}\sin^2\theta=:\tilde{E}, \textrm{ is max}\tag{2}$$

Zwei Lösungen für jeden$n$, eine Lösung ausschließen

Gleichung (1) gilt für alle$n\geq 1$zwei Lösungen$\theta_\pm=\pi/4 \pm \Delta$mit$0<\Delta<\pi/4$, die symmetrisch dazu sind$\pi/4$.Dies stellt die Tatsache dar, dass Sie, um eine bestimmte Entfernung zu erreichen, die nicht die maximale Entfernung ist, entweder in einem Winkel größer oder kleiner als 45 Grad schießen können. Die kinetische Energie beim Aufprall entsprechend diesen Lösungen ist:

$$\tilde{E}_\pm = \cos^2(\pi/4\pm \Delta)+e^{2n} \sin^2(\pi/4\pm \Delta)\\ = \frac{1}{2}\left( (\cos\Delta\mp \sin\Delta)^2 + e^{2n} (\cos\Delta\pm \sin\Delta)^2\right)\\ =\frac{1}{2}\left( 1 \mp \sin 2\Delta + e^{2n} (1 \pm \sin 2\Delta )\right)$$

Seit$\tilde{E}_--\tilde{E}_+ = \sin 2\Delta (1-e^{2n})>0$, nur$\theta_-$muss bei der Suche nach einer maximalen Schadenslösung berücksichtigt werden.

Lösung

Mit Hilfe von Gleichung (1) die kinetische Energie$\tilde{E}_-$kann als Funktion von geschrieben werden$n$, nur die Anzahl der Bounces. (Es ist keine schöne Funktion, daher wird sie hier weggelassen.) Interessanterweise$\tilde{E}_-(n)$ist eine monoton wachsende Funktion von$n$was zeigt, dass die maximale Energie/Schaden im Limit erreicht wird$n\to\infty$.In dieser Grenze haben wir aus Gleichung (1):

$$\sin 2 \theta_\infty=\frac{3}{10}$$ $$\tilde{E}_- = \cos^2 \theta_\infty$$

Diskussion

Die Lösung entspricht dem Ballschuss in einem relativ niedrigen Winkel, der viele (unendlich viele) Male vom Boden abprallt und gerade das Ziel erreicht und nicht weiter fliegt.

Warum eine Lösung mit niedrigem Winkel?

Wenn Sie in einem niedrigen Winkel schießen, wird die horizontale Komponente der Geschwindigkeit,$v_x$ist größer als die vertikale Komponente,$v_y$und dementsprechend stammt die anfängliche kinetische Energie hauptsächlich von der horizontalen Geschwindigkeit. Da sich die horizontale Geschwindigkeit während des Flugs oder des Aufpralls nicht ändert, bleibt der gesamte (große) horizontale Geschwindigkeitsbeitrag zur Energie bis zum Aufprall erhalten. Umgekehrt, wenn Sie den Ball fast vertikal schießen, befindet sich die meiste kinetische Energie in der vertikalen Komponente der Geschwindigkeit, die durch die Sprünge verringert wird.

Warum ein endlicher Aufnahmewinkel ungleich Null?

In dem verwendeten Modell springt der Ball nicht unendlich weit. Mit jedem Aufprall verliert es Energie und die zurückgelegte Strecke zwischen den Aufprallvorgängen verringert sich um den Faktor$e$von Sprung zu Sprung, wodurch es schließlich bei einer maximalen Entfernung stoppt. Mathematisch liegt es an der Konvergenz geometrischer Reihen. In diesem Beispiel also in einem kleineren Winkel als fotografieren$\theta_\infty$, wird der Ball das Ziel bei 45 m nicht erreichen, sondern vorher stoppen.

Warum nicht die$n=1$Lösung?

Naiverweise könnte man denken, dass das Aufprallen mit der minimalen Anzahl von Wiederholungen den größten Schaden verursacht, da in diesem Fall nur ein- oder mehrmals die vertikale Geschwindigkeit verringert wird. Dabei wird jedoch außer Acht gelassen, dass auch die horizontale Geschwindigkeitskomponente zum Aufprallschaden beiträgt.

Ist das praktisch?

Der eigentliche Zieltyp ist aus der Fragestellung nicht bekannt, hätte aber einen großen Einfluss, da sich echte Ziele anders verhalten würden als von der Seite oder von oben kommende Geschosse. Diese Lösung geht hier von einem Punktziel aus, bei dem horizontale und vertikale Komponente der Geschwindigkeit gleich wirken (= gleichberechtigt in die kinetische Energie/Schädigung eingehen).

Eine unendliche Anzahl von Sprüngen, dh die oben angegebene Begrenzungslösung, ist aus einer Reihe von Gründen nicht praktikabel. Ein realistischer (nicht perfekter) Boden kann leicht eine ausreichend große Störung einführen, um das Projektil zum Stoppen zu bringen, bevor es das Ziel erreicht. Jedoch,$\tilde{E}_-(n)$, nimmt bei klein schnell zu$n$aus$\tilde{E}_-(1)\approx 0.93$für einen Sprung zu$\tilde{E}_-(10)\approx 0.973$für 10 Bounces ist das schon nah an der Grenze von$\tilde{E}_\infty\approx 0.977$Also auch wenn man mit einem etwas größeren Winkel als geht$\theta_\infty$und folglich weniger Sprünge zum Erreichen des Ziels, ist die kinetische Energie fast gleich der (theoretischen) Grenze.

Ihre 1. Gleichung (kurz vor Ihrem EDIT) ist korrekt, es muss Ihre Arithmetik sein, die falsch läuft. Es gibt eine Lösung für 1 Bounce.

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Die Formel für die Reichweite kann in Bezug auf die horizontalen und vertikalen Komponenten der Geschwindigkeit geschrieben werden$v_x, x_y$als
$R=\frac{2v_x v_y}{g}$.
Nach jedem Sprung$v_y$wird reduziert auf$ev_y$während$v_x$ist unverändert. So danach$n$springt die Reichweite wird
$R(n)=\frac{2v_xv_y}{g}(1+e+e^2+...+e^n)=(1+e+e^2+...+e^n)R_0 \sin2\theta$
Wo$R_0=\frac{v^2}{g}=30m$ist die maximale Reichweite ohne Prellen$(\theta=45^{\circ})$.

Um eine Reichweite von zu erreichen$45m$Der Superball muss mindestens einmal aufspringen. Maximaler Schaden am Ziel erfordert maximalen KE, was durch Maximierung der abschließenden vertikalen Geschwindigkeitskomponente erreicht wird$e^n v_y$(seit$v_x$konstant ist), was eine Minimierung der Anzahl von Sprüngen erfordert$n$(Weil$e \lt 1$).

Für$n=1$Bounce gibt es eine Lösung für$\theta$.

Wenn die maximale Reichweite d = 30 m beträgt, können Sie auf 45 m keinen direkten Treffer erzielen - weshalb Ihr anfänglicher Ansatz Ihnen keine Lösung für liefert$\theta$.

Wenn Sie jedoch einen einzelnen Aufprall zulassen (und davon ausgehen, dass der Ball beim Aufprall rutscht, sodass keine Reibung in horizontaler Richtung entsteht), können wir sehen, was mit dem Winkel nach dem Aufprall passiert:

Die horizontale Geschwindigkeit ändert sich nach dem Bounce nicht - die vertikale Geschwindigkeit jedoch schon.

Jetzt erhalten wir die zurückgelegte Strecke, indem wir die horizontale Geschwindigkeit mit der Gesamtflugzeit für die beiden Sprünge multiplizieren. Wir berechnen dies aus der anfänglichen vertikalen Geschwindigkeit und dem Restitutionskoeffizienten$\eta$.

Ab$y=0$mit Geschwindigkeit$v$, kehrst du rechtzeitig auf den Boden zurück$t = \frac{2v}{g}$. Nach dem Aufprall wird die vertikale Geschwindigkeit um reduziert$\eta$. Der zweite Rückprall wird daher zu einem Zeitpunkt erfolgen$t_1 \left(1+\eta\right)$. Nun müssen wir dafür sorgen, dass dieser Abprall erfolgt, wenn sich der Ball in einer Entfernung von D = 45 m befindet; mit anderen Worten,

$$v_h t_1 \left(1+\eta\right) = D$$

Jetzt$v_h = v \cos\theta$Und$v_v = v \sin\theta$, also alles zusammen bekommen wir

$$\frac{2v\sin\theta}{g}v\cos\theta\left(1+\eta\right)=D$$

Wir kennen aber auch die ursprüngliche Geschwindigkeit$v$aus dem ersten Versuch, nämlich$v^2 = d g$. Wenn Sie das in die obige Gleichung einsetzen, finden Sie die Beziehung, die Sie brauchen.

Es wurde die interessante Frage aufgeworfen, ob es (in Bezug auf die Endgeschwindigkeit) besser wäre, mehr Bounces zu haben. Im Prinzip würde Ihnen ein "Skimming Shot" weniger Energieverlust pro Sprung geben, aber mehr Sprünge. Es ist vernünftig zu fragen, was besser wäre.

Man kann zwei Ansätze verfolgen, um einen Einblick in dies zu bekommen. Der erste Weg besteht darin, die endgültige Reichweite eines Projektils als Funktion des Startwinkels zu berechnen, wobei angenommen wird, dass es "zur Ruhe springt". In diesem Fall ist die Gesamtflugzeit gegeben durch

$$\begin{align}t &= \frac{2v\sin\theta}{g}\left(1+\eta+\eta^2+...\right) \\ &= \frac{2v\sin\theta}{g}\left(\frac{1}{1-\eta}\right)\end{align}$$

Der Bereich ist dann gegeben durch

$$D = t~ v\cos\theta = \frac{v\sin 2\theta }{g(1-\eta)}$$

Dies zeigt, dass die Reichweite durch das Aufprallen erweitert wird - aber 45 Grad wären immer noch der optimale Winkel, wenn Ihr Ziel "Distanz" ist.

Interessanter (und relevanter) ist die Berechnung der Endgeschwindigkeit danach$n$Bounces, bei bekannter Anfangsgeschwindigkeit und bekannter End-(Ziel-)Entfernung. Dann finden wir den benötigten Winkel durch Lösen

$$D = \frac{V^2 \sin 2\theta}{g}\left(\frac{1-\eta^{n+1}}{1-\eta}\right)$$

Und die Aufprallgeschwindigkeit folgt aus

$$V_i = \sqrt{v_h^2+v_v^2}\\ = V\sqrt{\cos^2\theta +(\eta\sin\theta)^{2\eta}}$$

Das ist eine hässliche Funktion; Lösung für verschiedene Werte von$n$ergibt sich das interessante Ergebnis, dass die Aufprallgeschwindigkeit zunächst geringer und mit zunehmender Anzahl der Sprünge wieder höher wird - und zwar in Abhängigkeit von der gewünschten Reichweite und dem Restitutionskoeffizienten. Für die angegebenen Werte können Sie die Endgeschwindigkeit nach 1, 2, ... n Sprüngen berechnen - vorausgesetzt, Sie versuchen, die gleiche Zielentfernung zu erreichen. Die Trajektorien, die Sie erhalten, sehen folgendermaßen aus:

Während die Endgeschwindigkeit so aussieht:

Dies zeigt, dass die Flugbahn, die nach den meisten Abprallern „gerade“ das Ziel trifft, eigentlich optimal ist.