Maximieren Sie Flugzeit und Reichweite gleichzeitig in der Projektilbewegung

Tim optimiert die Summe aus Höhe und Abstand X der Parabelbahn, nicht die Flugzeit T = 2*u sin(theta)/g, also beantwortet er die Frage nicht. Um die gleichen Einheiten zu erhalten, könnten Sie stattdessen die Summe von u T und X optimieren, was sin(theta) = sqrt(2/3) oder theta = 60,8 Grad ergibt.

Wenn$v$ist die Startgeschwindigkeit und$\theta$ist der Startwinkel über der Horizontalen, ist die Flugzeit$T=\frac {2v \sin \theta}g$Die Flugdistanz ist$R=\frac {2v^2 \sin \theta \cos \theta}g$. Es ist nicht sinnvoll, sie direkt hinzuzufügen, da die Einheiten nicht übereinstimmen. Wir könnten eine Konstante definieren$k$mit Einheiten Weg/Zeit und optimieren$R+kT=\frac {2v}g(v \sin \theta \cos \theta + k \sin \theta)$Die Konstante$k$sagt aus, wie wichtig uns die Flugzeit im Vergleich zur Reichweite ist. Wenn wir es auf Null setzen, ignorieren wir die Flugzeit, maximieren die Reichweite und erhalten$\theta = 45^\circ$. Wenn wir es sehr hoch machen, ignorieren wir im Wesentlichen die Reichweite, maximieren die Flugzeit und bekommen$\theta=90^\circ$. Dazwischen erhalten wir einen Wert dazwischen. Wir könnten machen$k$dimensionslos durch Definition$k'=\frac kv$, was schön ist, weil$v$legt das Ausmaß des Problems fest. Dann maximieren wir$\sin \theta (1+k' \cos \theta)$, die Ableitung hat$\cos \theta(1+k' \cos \theta)-k'\sin^2 \theta=\cos \theta+2k'\cos(2 \theta)-1$und Sie können nach lösen$\theta$als Funktion von$k'$