Zeit, die ein Projektil auf einer schiefen Ebene benötigt?

Ein Partikel wird auf eine geneigte Ebene mit Basiswinkel projiziert$\beta$mit der Horizontalen mit einer Anfangsgeschwindigkeit$V$. Das Teilchen kollidiert elastisch mit der Schräge und prallt vertikal zurück. Wenn das Teilchen nach einiger Zeit den Projektionspunkt wieder erreicht
$\large T = \dfrac {aV}{g \sqrt{1+b\sin^2\beta}}$
Geben Sie dann den Wert von ein$a + b$

Hinweis :$g$bezeichnet die Erdbeschleunigung.

Nun, zunächst verwirrt mich das Wort "vertikal". Vertikal wie in einem Winkel von$90^\circ$mit der Ebene oder der Horizontalen?? Verwirrt darüber ging ich in zwei Fällen vor:

FALL I Aus dem Flugzeug

Wenn also ein Teilchen auf eine schiefe Ebene projiziert wird, ist die Zeit, die es benötigt, um seine Projektilbewegung abzuschließen,:

$T$=$\frac{2u\sin(\alpha - \beta)}{g\cos\beta}$...... (ich)

Wo$\alpha$ist der Winkel, den das Projektil mit der Horizontalen bildet (dem kleineren Winkel) und$\beta$ist der Winkel der schiefen Ebene.

Wenn es auf eine schiefe Ebene projiziert wird: -

$T$=$\frac{2u\sin(\alpha + \beta)}{g\cos\beta}$............. (ii)

Hier,$\alpha$Und$\beta$die gleiche Bedeutung haben, Winkel von der Horizontalen bzw. Winkel der schiefen Ebene.

Aus den Angaben in der Frage wissen wir nun, dass die Reichweite des Geschosses in beiden Fällen gleich sein wird. Und wir müssen die Summe der Zeiten finden, um das Flugzeug auf und ab zu gehen.

Wenn es durch das Flugzeug projiziert wird,$\alpha + \beta$ist 90. Da nun das Projektil den Projektionspunkt zurückerreicht, sollten die Entfernungen auf und ab der geneigten Ebene gleich sein.

Die Formeln dafür lauten:

Hinauf ins Flugzeug:$\frac{u^2}{g\cos\beta}[\sin(2\alpha - \beta) - \sin\beta]$......... (iii)

Unten im Flugzeug:$\frac{u^2}{g\cos\beta}[\sin(2\alpha + \beta) + \sin\beta]$............... (iv)

(Alpha und Beta haben die gleiche Bedeutung)

also (iii) = (iv) und$\alpha + \beta$ist 90. Damit erhalten wir:-

$\sin(2\alpha - \beta) = 3\sin\beta$................... (v)

Nun wäre die Gesamtzeit (i) + (ii), was die Variable \alpha beinhaltet. Also muss ich die Variable eliminieren$\alpha$. Ich könnte das mit (v) machen, aber das würde Schreiben erfordern$\cos2\alpha$Und$\sin2\alpha$ NUR in Bezug auf$\sin\alpha$und dann diesen Wert verwenden$\sin\alpha$um zu beseitigen$\alpha$aus (i) + (ii). Allerdings finde ich die Lösung nicht so lang/unsauber und bin mir zu 99% sicher, dass es einen kürzeren/saubereren Weg geben muss.

FALL II Aus der Horizontalen

Ich mache so ziemlich die gleichen Schritte wie in Fall I. In diesem Fall bekomme ich durch Gleichsetzen der Bereiche: -

$\sin(2\alpha - \beta) = \sin\beta$was mir gibt$\alpha = \beta$. Dies macht nicht nur die Zeit in der Ebene auf 0, sondern auch die Zeit in der Ebene zu null$\frac{2u}{g}$, was für einen frei fallenden Körper/1D dasselbe ist. Außerdem denke ich, dass in diesem Fall das Partikel in seine Ausgangsposition zurückfällt und somit nie wieder in seine ursprüngliche Position zurückkehrt. Ich bin mir also zu 80% sicher, dass dies der falsche Fall ist, aber ich habe nicht nur den Kern der Projektilbewegung entlang einer geneigten Ebene verstanden, also denke ich, dass ich mich irren könnte.

Außerdem bedeutet das Wort "elastisch", dass keine Energie verloren geht, das Teilchen also mit der gleichen Geschwindigkeit zurückprallt, mit der es auftrifft. Aber ich glaube, ich erinnere mich vage, irgendwo gelesen zu haben, dass es auch etwas tun muss, um gleiche Winkel mit der Normalen oder so etwas zu machen. Meine beste Vermutung ist, dass dies irgendwo verwendet werden könnte und uns so eine einfachere Beziehung zwischen ermöglicht$\alpha$Und$\beta$. Entweder dies oder das Worst-Case-Szenario, dass ich das Problem VOLLSTÄNDIG falsch verstanden habe. PLS korrigiert mich, wenn ich irgendwo in dieser Erklärung falsch liege. Ich habe mein Bestes gegeben, um die Hausaufgabenrichtlinie einzuhalten. Bitte seien Sie so freundlich, mich auf Fehler hinzuweisen, die ich in dieser Hinsicht gemacht haben könnte.

Danke