Miller-Indizes vs. Laue-Indizes?

Die Unterscheidung zwischen den beiden Indizes ist ziemlich subtil. Vielleicht ist es besser, von der Laue-Bedingung auszugehen. Nehmen wir an, ich habe Reihen von Atomen mit Abständen$a$. Wir befinden uns in der Fraunhofer-Grenze, wenn also zwei Röntgenstrahlen einfallen und an benachbarten Atomen gestreut werden, kommen sie parallel und gehen parallel aus. Wir können dann die Weglängendifferenz zwischen den einfallenden Strahlen und den ausgehenden Strahlen berücksichtigen, dh$\Delta^1 = \Delta_1 - \Delta_2= a \cos \alpha_1 - a \cos \alpha_2$Wo$\alpha_1$ist der Winkel zwischen dem einfallenden Strahl und der Atomreihe und$\alpha_2$ist der Winkel zwischen dem austretenden Strahl und der Atomreihe. Die Bedingung für konstruktive Interferenz ist das$\Delta^1 = h \lambda$Wo$\lambda$die Wellenlänge ist und h eine ganze Zahl ist. Diese Analyse kann in allen drei Richtungen durchgeführt werden und dann muss die Bedingung in allen drei Richtungen wahr sein, was gegeben ist$\Delta^2 = k\lambda \text{ and } \Delta^3 = l\lambda$.(Es gibt entsprechende Winkel für die anderen Pfadlängenunterschiede).

So können wir eingehende Einheitsvektoren definieren$s_1 = (\cos \alpha_1,\cos \beta_1, \cos \gamma_1)$und abgehend$s_2 = (\cos \alpha_2, \cos \beta_2, \cos \gamma_2)$. Daraus betrachten wir die Streuwelle$s_1-s_2= G \lambda$mit$G = \frac{1}{a}(h,k,l)$seit$s_1 ,s_2$Einheitsvektoren sind$G$senkrecht zu dem Vektor, der den Winkel dazwischen halbiert$s_1$Und$s_2$.

Jetzt kommt der erste entscheidende Punkt, zeichnen Sie Ebenen, die parallel zu der Ebene sind, die den Winkel zwischen den einfallenden und ausgehenden Strahlen halbiert. Dies sind die Gitterebenen und sie definieren die Miller-Indizes. Laue-Indizes werden durch einen anderen Satz von Ebenen definiert. Zurück zu den Gitterebenen, nennen Sie den Abstand zwischen jeder aufeinanderfolgenden Ebene$d_{hkl}$Dies ist der Abstand, der in Braggs Gesetz erscheint. Wenn wir eine primitive Zelle auswählen, dann sind (hkl) unsere Miller-Indizes.

Was ist mit Laue-Indizes? Nun, wir schauen uns das Gesetz von Bragg an$n \lambda = 2 d_{hkl} \sin \theta_n$. Jetzt kommt der zweite entscheidende Punkt, beachten Sie, dass die$m^{th}$Ordnungsreflexion an der (hkl)-Ebene betrachtet werden kann$n^{th}$bestelle wenn ich$\textit{define}$neue Flugzeuge in der Ferne$\frac{d_{hkl}n}{m}$dh$m \frac{n}{m}\lambda=2 (d_{hkl}\frac{n}{m})\sin \theta_m$Diese Flugzeugfamilie ist dann durch die Notation gegeben$\frac{m h}{n} \frac{m k}{n} \frac{m l}{n}$ohne Klammern. Dies sind die Laue-Indizes, beachten Sie, wie sie gemeinsame Faktoren haben können, selbst wenn wir mit einer primitiven Zelle begonnen haben.

Nach dem, was ich gelesen habe, und Amaras Antwort habe ich Folgendes gefunden.

Müllerindizes

Ein Satz von 3 Indizes$h,k,l$die eine Familie von Gitterebenen sowie den kürzesten reziproken Gittervektor in einer gegebenen Richtung spezifizieren.

Laue-Indizes

auch bekannt als Reflexionsindizes ¹ .

Ein Satz von 3 Indizes$H$,$K$,$L$, die eine Familie von Ebenen spezifizieren (man beachte kein „Gitter“), aus denen sich Bragg-Reflexionsspitzen bilden.

Einschränkung der Werte

Es ist eine allgemeine Aussage, dass Miller-Indizes teilerfremd sein müssen (dh keine gemeinsamen Teiler haben), aber das ist einfach nicht wahr. Miller-Indizes nehmen jeden gewünschten Wert an, solange sie einer Familie von Gitterebenen entsprechen (was ihre Werte auf kleine ganze Zahlen beschränkt). Laue-Indizes können jeden Wert annehmen, der ein ganzzahliges Vielfaches eines gültigen Satzes von Miller-Indizes ist.

Beispiele

Für eine einfache kubische Zelle ist (111) ein Satz von Miller-Indizes (222) ist es nicht, aber (222) ist ein gültiger Satz von Laue-Indizes.

Für eine fcc mit einer konventionellen Einheitszelle ist (100) jedoch kein gültiger Satz von Miller-Indizes (es entspricht keinem Satz von Netzebenen) (200). (300) ist kein gültiger Satz von Laue-Indizes, aber (200) und (400) usw. sind es.

Warnung

Ich habe Bücher gesehen, in denen alle Indizes aufgeführt sind$hkl$ohne Einschränkung einfach als Miller-Indizes bezeichnet oder das Konzept der Laue-Indizes eingeführt wurde.

Verweise

[1] Hammond, C. 2009. Die Grundlagen der Kristallographie und Beugung (Band 12). Oxford: Oxford University Press. (~ Seite 111)

[2] Fredriksson, H. und Åkerlind, U., 2008. Physik funktioneller Materialien. John Wiley & Söhne. (Seite 134)

[3] Clegg, W. 2015. Röntgenkristallographie. Oxford University Press (S. 109)

_{¹ Reflexionsindizes ist ein viel lukrativerer Suchbegriff.}