Muss der Hilbert-Raum des Universums unendlich dimensional sein, um die Quantenmechanik zu verstehen?

Muss der Hilbert-Raum des Universums unendlich dimensional sein, um die Quantenmechanik zu verstehen? Sonst kann Dekohärenz niemals exakt werden. Erfordert die Interpretation der Quantenmechanik exakte Dekohärenz und perfekte Beobachter, wie sie nur aus exakten Überlagerungssektoren im asymptotischen Zukunftslimit entstehen können?

Antworten (2)

Bei einem endlichdimensionalen Hilbertraum geht der ganze Apparat der praktischen QM verloren. Es bleibt sehr wenig übrig - keine kontinuierlichen Spektren, keine Streutheorie, keine S-Matrix, keine Wirkungsquerschnitte. Keine Dirac-Gleichung, keine Relativitätstheorie, kein Zusammenhang zwischen Symmetrie und Erhaltungssätzen, keine Quantenfelder. Fast alle Errungenschaften der modernen Physik wären ruiniert.

Bereits der Hilbert-Raum einer einzelnen Schwingungsmode ist unendlichdimensional, und das Universum enthält Millionen davon. Glücklicherweise ist Millionen mal unendlich immer noch unendlich, aber...

Aufgrund von Superselektionssektoren ist der Hilbert-Raum von QED bereits nicht-separaple (dh hat eine überabzählbare Basis). Der physikalische Hilbert-Raum einer Quantenfeldtheorie ist das direkte Integral der Hilbert-Räume, die den verschiedenen Superselektionssektoren entsprechen. Das direkte Integral ist mathematisch gut definiert, http://en.wikipedia.org/wiki/Direct_integral und gibt einen nicht trennbaren Raum, sobald das Integral über einem Kontinuum liegt.

In der QED ist es (mindestens) das Kontinuum der Richtungen im 3-Raum. Man braucht diesen nicht trennbaren Raum, um Lorentz-Transformationen von Ladungszuständen zu definieren, da sich geladene Zustände, die sich in verschiedene Richtungen bewegen, in verschiedenen Superselektionssektoren befinden. Daher sollte die Dimension des Hilbert-Raums des Universums mindestens die Kardinalität des Kontinuums sein.

Jetzt beschreibt QED das Universum mit Gravitation, schwache und starke Kräfte werden ignoriert. Leider ist sehr wenig über den Hilbert-Raum der nichtabelschen Eichtheorien und die Quantengravitation bekannt, daher ist es nicht so klar, welche Kardinalität der Hilbert-Raum des Universums haben wird, sobald wir wissen, ob das Universum durch eine beschrieben wird.

Andererseits kann die Interpretation der Quantenmechanik nicht von exakten Modellen abhängen, da unsere Modelle der realen Welt niemals exakte Nachbildungen der letzteren sind.

Der Schwingungsmodus ist nur dann unendlich, wenn sich der Oszillator über den gesamten Raum und bis zu mikroskopischen Entfernungen erstreckt. Wenn Sie einen kosmologischen Grenzwert für den Raum und einen Planckschen Grenzwert festlegen, erhalten Sie eine endliche Hilbert-Raumdimension. Es gibt in der Quantenmechanik keine nicht separierbaren Hilbert-Räume, niemals, nicht einmal Superselektionssektoren. Dies ist nicht gut definiert - der Hilbert-Raum ist Superauswahl-Sektor für Superauswahl-Sektor definiert.
Ein Oszillator ist per Definition mit einem Hamilton-Operator verbunden, der auf einer Darstellung des CCR definiert ist, was unendliche Dimensionen impliziert. - Der Hilbert-Raum ist in jedem Sektor trennbar, aber Eichsymmetrien, Feldoperatoren und Störungstheorie sind nur im direkten Integral definiert, das nicht trennbar ist. Es ist nicht einmal klar, ob die Hamiltonsche Dynamik die Sektoren respektiert; Das Fehlen davon kann durchaus der Grund sein, warum die Raumzeit-Dimension 4 so schwer zu analysieren ist.
Ich bin mit dieser Idee nicht einverstanden - die Frage bezog sich auf Physik, und natürlich versagt die CCR, wenn Sie sich einen diskreten Raum vorstellen. Das „direkte Integral“ ist etwas vage definiert – Sie sprechen von den Infrarot-Photonen-Problemen – das ist nicht eindeutig sinnvoll, obwohl es auch nicht eindeutig unsinnig ist. Aber wenn es sinnvoll ist, muss man es durch eine explizite Grenze definieren.
@RonMaimon: Ja, die Frage bezog sich auf Physik, und wenn Sie die Oszillatordarstellungen aus der Physik entfernen, bleibt nur sehr wenig übrig - keine kontinuierlichen Spektren, keine Streutheorie, keine S-Matrix, keine Wirkungsquerschnitte. Der ganze Apparat des praktischen QM geht verloren. Endlich-dimensionale Hilbert-Räume decken nur die Quanteninformationstheorie (noch nicht wirklich anwendbar) und Spekulationen in einigen theoretischen Kreisen über die mögliche Struktur einer Quantengravitationstheorie ab.
@RonMaimon: Ein direktes Integral von Hilbert-Räumen ist mathematisch gut definiert, en.wikipedia.org/wiki/Direct_integral und ergibt einen nicht trennbaren Raum, sobald sich das Integral über einem Kontinuum befindet. In der QED ist es das Kontinuum der Richtungen im 3-Raum. Diesen nicht trennbaren Raum benötigt man bereits, um Lorentz-Transformationen auf Ladungszustände zu definieren.
@ArnoldNeumaier: Da muss ich Ron zustimmen. Physikalisch gibt es immer einen Cutoff – wie Sie selbst anspielen, kann die Quantengravitation sowohl im UV- als auch im IR-Bereich einen Cutoff liefern. Der CCR ist ein nettes Modell eines echten Oszillators, aber eindeutig kann kein physikalischer Oszillator unbegrenzte Energie aufrechterhalten, ohne dass eine andere Physik dazu kommt. Was den Mangel an Dekohärenz angeht --- Analogie: In der statistischen Physik ist Symmetriebruch eine schöne Fiktion, da noch kein beobachtetes System tatsächlich thermodynamisch ist; Abweichungen werden jedoch exponentiell unterdrückt. Ebenso können die periodischen Umlaufbahnen exponentiell groß sein.
@genneth: Der Punkt ist, dass man die Fiktionen braucht, um mächtige Mathematik anwenden zu können, ohne die nichts berechenbar ist. Ein endlichdimensionaler Hilbert-Raum würde ebenfalls nur ein Modell liefern, aber eines, dem jegliche Struktur fehlt, die die Dinge berechenbar und damit die Welt vorhersagbar macht.
@ArnoldNeumaier: Es könnte sich einem unendlich dimensionalen Hilbert-Raum annähern, und es muss der Beobachtung entsprechen. Der einzige Grund, warum ich mir nicht sicher bin, ist, dass endlichdimensionale Hilbert-Räume die unendliche Dimensionsgrenze für große Systeme annähern und definieren und wir die asymptotische Unendlichkeit nicht messen können. Es ist natürlich sehr nützlich für gute mathematische Ergebnisse.
@RonMaimon: Aus dem gleichen Grund würden Sie sagen, dass man anstelle von Hilbert-Räumen endlich-diemsnionale Vektorräume über den Rationalen betrachten sollte, und tatsächlich sind nur endliche Mengen, da selbst ein rationaler Vektorraum eine Idealisierung ist. Bei der Modellierung kommt man um Idealisierungen nicht herum. Die beste Idealisierung ist immer diejenige, die den einfachsten konzeptionellen und rechnerischen Zugang zu der vorliegenden Situation bietet. Alle Fortschritte in der Physik basierten auf solchen konzeptionellen Fortschritten. Die Rückkehr zu endlichen Räumen oder sogar endlichen Mengen läuft darauf hinaus, all das rückgängig zu machen.
@ArnoldNeumaier: Ich stimme zu, und ich befürworte das nicht. Aber die Physik, die einen endlichen Hilbert-Raum erfordert, ist eine Holographie mit kosmologischen Horizonten mit endlicher Fläche, und das muss ernst genommen werden, auch wenn es völlig paradox ist. Für die Modellierung von QED (oder masselosen Theorien im Allgemeinen) in R ^ 4 haben Sie möglicherweise Recht, dass der richtige Ansatz nicht trennbare Analoga des Hilbert-Raums sind, ich weiß es nicht genau. Das Problem ist, dass Sie, wenn Sie Dinge wie eine endliche Teilchendichte zulassen, unberechenbare Berechnungen in der unendlichen Zeit erhalten können, und so würde die S-Matrix unberechenbar werden.
@RonMaimon: Eine endliche Dichte wird nur für thermische Systeme benötigt, und dann existiert die S-Matrix in keiner Feldtheorie mehr. Stattdessen möchte man thermische Korrelationsfunktionen berechnen, die nach der Renormierung vollkommen wohldefiniert sind.
@ArnoldNeumaier: Das ist, wenn Sie ein thermisches System einrichten und dann keine S-Matrix. Aber wenn Sie eine unendliche Anzahl von Partikeln herstellen, die auf spezielle Weise aus dem Unendlichen kommen, können Sie eine Turing-Maschine in Zwischenstufen bauen, und Sie können sie dazu bringen, sich selbst zu sprengen, wenn die Berechnung anhält, und die S-Matrix das Anhalteproblem codiert Lösung. Dies ist die Art von Dingen, über die ich spreche, was es schwierig macht, über unendlich viele Teilchen zu sprechen.
Natürlich kann man mit diesen Dingen theoretisch spielen. Aber sie haben noch keine Bewerbungen. Und es hat nichts mit der gestellten Frage zu tun - denn wie kann man unendlich viele Teilchen in einem endlichdimensionalen Hilbert-Raum haben?
zu "Das direkte Integral ist mathematisch gut definiert und ergibt einen nicht trennbaren Raum, sobald das Integral über einem Kontinuum liegt." : Das ist zum Beispiel falsch L 2 ( R ) ist trennbar.
@jjcale: Aber L 2 ( R ) ist kein direktes Integral nichttrivialer Hilbert-Räume.
@Arnold Neumaier: Ich denke, das direkte Integral trennbarer Hilbert-Räume ist wieder trennbar. Wenn Sie beispielsweise eine einheitliche Darstellung einer lokal kompakten trennbaren Gruppe auf einem trennbaren Hilbert-Raum haben, dann kann dieser Hilbert-Raum als direktes Integral über die irreduziblen Darstellungen der Gruppe geschrieben werden.
@jjcale: Aber wegen der angenommenen Trennbarkeit wird das Maß dieses direkten Integrals beweisbar diskret sein. Somit ist dieses „Integral“ eine zählbare direkte Summe und kein direktes Integral in dem Sinne, in dem ich den Begriff verwendet habe.
Während ein echtes direktes Integral von Hauptreihendarstellungen von SL(2) eine einheitliche Darstellung auf einem nicht trennbaren Hilbert-Raum ergibt.
@Arnold Neumaier: Nehmen Sie die Poincare-Gruppe und einen Hilbert-Raum von 2 Teilchen: Dies ist ein trennbarer Hilbert-Raum und ein kontinuierliches direktes Integral über die Ein-Teilchen-Räume, die dem Massenmittelpunkt entsprechen. Oder anschauen L 2 ( R 2 ) was ein kontinuierliches direktes Integral von Kopien von ist L 2 ( R ) .
@jjcale: Nein. Die inneren Produkte sind sehr unterschiedlich.
Um zu verstehen, was passiert, nehmen Sie das direkte Integral über [0,12] von kontinuierlich vielen Kopien eines 1-dimensionalen Raums und versuchen Sie, eine abzählbare Basis zu finden!
@Arnold Neumaier: Du bist auf dem falschen Weg, siehe planetmath.org/directintegralofhilbertspaces
@jjcale: Danke für die Bereitstellung des expliziten Links. Ich bemerkte, dass ich die Begriffe direkte Summe und direktes Integral verwechselt hatte. Man sollte in meinen obigen Kommentaren direkte Summe lesen, wenn ich direktes Integral geschrieben habe. Dann machen die Kommentare Sinn.

Das Universum hat wahrscheinlich einen unendlich dimensionalen Hilbert-Raum. Endliche Dimensionen reichen jedoch aus, um die Quantenmechanik zu "verstehen". Oder zumindest reichen endliche Dimensionen aus, um Intuition zu gewinnen und die philosophischen Schwierigkeiten der verschiedenen Interpretationen der Quantenmechanik aufzudecken. Eine Katze lebt in einem sehr hochdimensionalen (oder unendlichen) Hilbert-Raum, aber die Essenz des Katzenparadoxons von Schrödinger kann erfasst werden, indem man es einfach als ein System mit zwei Zuständen betrachtet.

Und endliche Dimensionen reichen für eine perfekte Dekohärenz aus. Ein Beispiel ist die | + > ⊗ | 0 > Zustand, der im Zusammenhang mit Quantencomputern in ein Controlled-Not-Gate eingespeist wird. Tatsächlich ist diese einfache Schaltung eigentlich ein ziemlich gutes Modell, um die Rolle von Beobachtern zu verstehen (das zweite Qubit „beobachtet“ oder kopiert den Zustand des ersten Qubits und verursacht dadurch Dekohärenz). Endliche Dimensionen sind viel einfacher zu denken. Sie möchten sich als Beobachter natürlich nicht als Qubit vorstellen, das mit dem Objekt verstrickt ist, das Sie gemessen haben, aber das ist ein Wurm, an dem die Philosophen wahrscheinlich noch sehr lange arbeiten werden.

In einem endlich-diemsnionalen Hilbert-Raum gibt es keine Dekohärenz. (Alle Bewegungen sind quasiperiodisch und nichts kann sich auflösen.)
@ArnoldNeumaier: Vielleicht haben wir unterschiedliche Vorstellungen davon, was Dekohärenz bedeutet. Das Beispiel, das ich mit dem CNOT-Gatter gegeben habe, ist endlichdimensional und nicht quasiperiodisch (es sei denn, Sie berücksichtigen den konstanten Zustand | 00 > + | 11 > periodisch sein) und führt zum Verschwinden der nicht-diagonalen Elemente der Dichtematrix. Durch die Verfolgung des zweiten Qubits bleibt das erste Qubit in einem klassischen Zustand. Ich habe gehört, dass Leute in der Quanteninformationsgemeinschaft dies als Dekohärenz bezeichnen. Liege ich falsch?
Es gibt eine ausführliche Diskussion dieses Problems unter physicalforums.com/showpost.php?p=3157393&postcount=103
Ein konstanter Zustand ist natürlich für jede Periode periodisch. Beim Quantencomputing benötigt man die Umgebung (mit ihrem Infinite-D-Hilbert-Raum) zum Vorbereiten bestimmter Eingangszustände. Ohne das können Sie ein Quantengerät nicht für Berechnungen verwenden. - „Decohärenz tritt auf, wenn ein System thermodynamisch irreversibel mit seiner Umgebung interagiert.“ von en.wikipedia.org/wiki/Decoherence
Muss der Hilbert-Raum des Universums unendlich dimensional sein, um die Quantenmechanik zu verstehen?
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