Muss die Unendlichkeit Wiederholungen beinhalten?

Ich bin mir nicht sicher, ob die Frage präzise genug ist. Stellen wir uns die Frage: Muss sich in einer unendlichen Folge irgendein bestimmter Abschnitt wiederholen (dh einen anderen Abschnitt haben, der dazu isomorph ist)?

Die Antwort hier scheint mir eindeutig nein zu sein. Denken Sie an Cantors Diagonalisierungsargument. Ich bilde eine unendliche Anzahl von Zeichenfolgen aus 1 und 0, von denen jede unendlich lang ist, wie folgt:

S1 1, 1, 1, 1, 1, . . .

S2 1, 0, 1, 0, 1, . . .

S3 0, 1, 0, 1, 0, . . .

S4 1, 0, 0, 1, 0, . . .

S5 0, 1, 1, 0, 1, . . .

Nun diagonalisiere ich, um eine neue Folge Sx zu erzeugen, deren erster Wert dem ersten Wert von S1 entgegengesetzt ist, deren zweiter Wert dem zweiten Wert von S2 entgegengesetzt ist und so weiter .

Sx 0, 1, 1, 0, 0, . . .

Jetzt weiß ich, dass Sx nirgendwo in irgendeiner der unendlich vielen Sequenzen S1 vorgekommen ist. . . Sn. (Durch Widerspruchsbeweis. Angenommen, Sx ist identisch mit irgendeiner Folge Sm, dann muss es so sein, dass der m-te Wert von Sx das Gegenteil des m-ten Werts von Sm ist, denn so wurde Sx definiert. Widerspruch.) Aber wenn ich weiß, dass Sx zu keinem der S1 gehört. . . Sn, dann weiß ich auch, dass diese Sequenz in dieser unendlichen Reihe von Sequenzen nirgendwo wiederholt wurde.

Ich denke, es sollte eine Anwendung dieser Tatsache auf unsere Frage geben, ob ein Abschnitt einer unendlichen Sequenz wiederholt werden muss oder nicht. Vielleicht sieht jemand anderes, wie man diesen letzten Link für uns verbindet.

Aber kann Wiederholung die Unendlichkeit charakterisieren? Oder sollte es Natalität sein, das heißt, wahre Unendlichkeit ist gekennzeichnet durch Nicht-Wiederholung, die jedoch „weit davon entfernt“ ist, man geht nichts wiederholt, es gibt immer eine Modalität, einen Aspekt, der wesentlich neu ist?

Ja zu letzterem. Um das Unendliche zu verstehen, finde ich es am besten, zuerst den Begriff des Endlichen fest in den Griff zu bekommen.

Betrachten Sie die folgende nicht-numerische Analogie: Angenommen, wir beginnen mit einem Spaziergang durch ein gewöhnliches (endliches) Dorf, das aus mehreren Häusern besteht. Nehmen wir weiter an, Sie könnten frei durch dieses Dorf gehen, um einige oder alle diese Häuser in beliebiger Reihenfolge zu besuchen.

Wenn Sie bei einem Haus beginnen und von einem Haus zum anderen gehen und zu keinem Haus mehr als einmal gehen, liegt es nahe, dass Sie schließlich zu Ihrem Ausgangspunkt zurückkehren müssen. Ihnen müssen schließlich die verschiedenen Orte ausgehen, an die Sie gehen können. Intuitiv würde dies auf jedes endliche Dorf zutreffen. Dies wäre in einem "unendlichen" Dorf nicht der Fall, wo Sie bei einem Haus beginnen und auf Ihrem Spaziergang nie wieder dorthin zurückkehren könnten, selbst wenn Sie eine Ewigkeit laufen könnten. Es überrascht daher nicht, dass ein Dorf (oder eine andere Menge von Objekten) genau dann unendlich ist, wenn es NICHT endlich ist.

Eine Menge von Objekten kann genau dann als unendlich bezeichnet werden, wenn es möglich ist , bei einem Element zu beginnen und von einem Element zum anderen zu gehen und zu keinem Element mehr als einmal zu gehen (dh keine Wiederholung ) und niemals zurückzukehren zum Ausgangspunkt.

(Siehe auch "Infinity: The Story So Far", gerade überarbeitet in meinem Mathe-Blog , für eine formale Entwicklung dieser Ideen.)

Bitte lesen Sie meine Antwort auf diese ähnliche Frage hier .

Zusammenfassung: Wenn die Menge der möglichen Zustände beschränkt ist, dann muss irgendein Zustand wiederkehren. Aber wenn nicht, nicht. Die Menge der Zustände 1, 2, 3, 4, ... wiederholt sich nie. Aber wenn Sie sagen, dass es nur 3 Zustände gibt, dann muss sich ein Zustand unendlich oft wiederholen. Aber es ist nicht unbedingt so, dass alle Zustände wiederkehren. Wenn also zum Beispiel unendlich viele Universen und nur endlich viele Rechtsstaaten in einer Region der Raumzeit verfügbar sind, dann hat jemand unendlich viele Kopien von sich selbst da draußen; aber höchstwahrscheinlich nicht ich und höchstwahrscheinlich nicht du. Wie die Kids heutzutage sagen: YOLO. Man lebt schließlich nur einmal. Sie erkennen das nicht, aber sie machen einen tiefen und aufschlussreichen Punkt über Kosmologie und Metaphysik.

Aber sehen Sie sich bitte meine ursprüngliche Antwort an, die auch das wahrscheinlichkeitstheoretische Argument berücksichtigt, das häufig online zu sehen ist. Um es kurz zu machen, Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit Null können in unendlichen Wahrscheinlichkeitsräumen auftreten; daher ist das probabilistische Argument, dass wir alle viele Male leben, falsch.

Und außerdem: Wir wissen nicht, welche Beschränkungen die physikalischen Gesetze der Menge der zulässigen Zustände auferlegen. Das naive Argument, dass „alles in einem unendlichen Abtastraum passieren muss“, ist also einfach falsch.

Ich würde behaupten, dass Unendlichkeit und Wiederholung grundsätzlich nichts miteinander zu tun haben, sondern dass jede menschliche Vorstellung von Unendlichkeit nur durch Wiederholung erfolgen kann.

Wir haben nur endlich viele Symbole, mit denen wir arbeiten können, und über sie können wir nur abzählbar viele Dinge klar definieren. Wir können die ganzen Zahlen definieren und jeder von ihnen eine eindeutige Darstellung geben und von dort zu den rationalen Zahlen gehen und von dort zu allen algebraischen Wurzeln rationaler Polynome und von dort zu allen geschlossenen Integralformen mit Grenzen zwischen diesen algebraisch identifizierten Zahlen. usw. usw. usw. Nach einer abzählbar unendlichen Anzahl von Schichten könnten wir theoretisch schließlich eine Darstellung für jede reelle Zahl haben.

Aber wenn wir wirklich eine Anspielung auf die Unendlichkeit niederschreiben wollen, muss es sich um eine endliche Menge aus diesem Turm von immer komplexeren Darstellungen handeln, und darüber hinaus, wenn es wirklich deterministisch sein soll, es muss in einem endlichen Algorithmus erfasst werden, der den Rest der Darstellungen ausschreibt, auf die wir anspielen. Also Schleifen oder Rekursion und damit Wiederholung.

Wenn wir denken, dass die Punkte der realen Linie alle „gleich aussehen“, liegt das daran, dass die überwiegende Mehrheit von ihnen keine Namen haben kann, die unsere Aufmerksamkeit auf eine Weise auf sie lenken würden, die einen Unterschied machen würde. Aber das ist eine uns von der Sprache aufgezwungene Illusion. Mit endlich vielen Symbolen können wir das Detail nicht sinnvoll erfassen.

(Aus konstruktivistischer Sicht bedeutet dies, dass die meisten dieser Punkte nicht existieren und alles endlich ist, mit einer einzigen zählbaren Iteration, die als Prozess dargestellt wird. Unendliche Konstrukte sind nützlich, um Konzepte darauf zu projizieren, aber wenn Sie die Ergebnisse nicht konstruieren können, Sie haben kein Objekt. Von diesem Standpunkt aus sind alle Unendlichkeiten zählbar und unzugänglich. In dieser Geisteshaltung (die ich so gut wie möglich hinbekomme) ist Ihre Beobachtung also richtig.

In der Realität richtig sein und im Prinzip richtig sein sind jedoch nicht dasselbe, diese Assoziation ist im Prinzip falsch.)

Was ist eine Wiederholung?

Beliebte Beispiele sind bisher das Zählen von Zahlen und physischen Objekten, aber es ist alles voller Raum-Zeit-Konzepte. Ein Bruchteil einer Zahl, die sich unendlich fortsetzt, ist nicht unendlich. Angenommen, dass 1 Einheit unendlich addiert oder subtrahiert werden kann, ist nicht unendlich.

Warum glauben wir bei der Definition der Unendlichkeit, dass wir überhaupt Raum-Zeit-Prinzipien anwenden können?

Unendlichkeit existiert nicht in Raumzeit, also sollten wir Zeit nicht implizieren, wenn wir sie beschreiben; daher darf die Unendlichkeit keine Wiederholungen beinhalten.