Nahezu-Freie-Elektronen-Modell und das Schema der reduzierten Zone

Präambel :

Die Dispersionsrelation für ein periodisches Potential ist selbst immer periodisch. Das heißt, wenn$E_k$ist ein Energieeigenwert für Wellenvektor$k$in einem Gitter mit Zellgröße$a$, Dann

$$E_{k + G} = E_k, \;\;\;\forall k,\;G = \frac{2\pi}{a}n\;\;\text{(G vector of the reciprocal lattice)}$$ was direkt aus der Translationssymmetrie des Hamiltonoperators folgt. Um dies zu sehen, lassen Sie $\psi(x)$eine Eigenfunktion des Hamiltonoperators sein. Translationssymmetrie bedeutet, dass (Satz von Bloch) $$\psi(x+a) = e^{ika}\psi(x)$$ für einen Wellenvektor $k$, und dass jede Eigenfunktion, die sich unter Translation wie oben verhält, demselben Eigenwert entspricht $E_k$. Die entsprechenden Eigenfunktionen sind also ebenfalls mit indiziert $k$(und andere Quantenzahlen, zB Spin), $\psi_k(x)$.

Nun lass$\psi_{k+G}(x)$eine Eigenfunktion sein, die dem Energieeigenwert entspricht$E_{k+G}$. Dann wieder durch Translationssymmetrie,

$$\psi_{k+G}(x+a) = e^{i(k+G)a}\psi_{k+G}(x) = e^{ika}\psi_{k+G}(x)$$ was bedeutet, dass $\psi_{k+G}(x)$muss dem Eigenwert entsprechen $E_k$, und so $E_{k+G} = E_k$. Als Randnotiz folgt dies auch aus der Zeitumkehrsymmetrie $E_k = E_{-k}$.

Die erste Brillouin-Zone hebt eine erste Periode hervor$E_k$, indem man es einstellt$-\pi \le ka \le \pi$. Wenn es gibt$N$Teilchen im Gitter, dann gibt es$N$unterschiedliche Werte von$k$in der ersten Brillouin-Zone. Es kann gezeigt werden, dass Beziehungen$E_{k+G} = E_k$,$E_k = E_{-k}$implizieren$\frac{dE_k}{dk} = 0$bei$k=\frac{\pi}{a}n$,$\;n=0,\pm1,\pm2,\dots$, das ist,$E_k$hat Extrema in der Mitte und an den Rändern von Brillouin-Zonen, wo die Dispersionsbeziehung als parabolisch angenähert werden kann,$E_k \sim \pm k^2$. Im Modell der nahezu freien Elektronen wird diese parabolische Annäherung um das Zentrum der ersten Brillouin-Zone zu$E_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$.

Kurze Antwort auf die Frage :

Der Grund für diese Periodizität ist in Ausdrücken wie z$E_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$ist, dass die Komplexität von Energieniveaus oder Energiebändern im Periodensystem in 3 verschiedenen Schemata beschrieben werden kann . Die oben beschriebene Darstellung verwendet$E_k = E_{k+G}$und alle Energieniveaus (Bänder) in allen Bereichen des Wellenvektorraums zeigt, ist das sogenannte periodische Zonenschema . Die Darstellung mit$E_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$zeigt alle Bänder nur in der ersten Brillouin - Zone und ist als reduziertes Zonenschema bekannt . Es gibt auch das in der anderen Antwort gezeigte erweiterte Zonenschema , das verschiedene Bänder in verschiedenen Brillouin-Zonen mit Unterbrechungen an Zonenrändern zeigt.

Eine sehr gute Darstellung der 3 Darstellungsschemata finden Sie in Abb.8, S.25 dieser Anmerkungen zum Bloch-Theorem und Energieband[en] . Die Vorlesung enthält auch eine großartige Einführung in Energiebänder in periodischen Systemen aus Symmetrieprinzipien (Translation, Parität, Zeitumkehr usw.).

Mechanische Schwingungen der periodischen Atomkette und Elektronenbewegung in periodischen Feldern sind ziemlich unterschiedliche Probleme, obwohl sie ähnliche Eigenschaften in Bezug auf die periodischen Randbedingungen haben. Die Frequenz der zweiatomigen Kette hat eine obere Grenze, die von der interatomaren Kopplung abhängt. Die Energie von Elektronen ist nach oben unbegrenzt, da man Elektronen auf beliebig hohen Energieniveaus anregen kann, deren Wellenfunktion periodische Randbedingungen erfüllt.

Mit anderen Worten, die zweiatomige Kette hat nur zwei mögliche Schwingungsmodi, während das Elektron eine unendliche Anzahl solcher Modi hat, von denen jeder einem Energieniveau isolierter Atome entspricht, die eine periodische Struktur bilden.

Daher ist das Dispersionsgesetz für Elektronen, die sich in periodischen Feldern bewegen, nicht periodisch und besitzt eine Form, die in der folgenden Abbildung dargestellt ist.