Nicht-chirales Skyrmion vs. links/rechts chirales Skyrmion

Verwendung der kartesischen Koordinaten$X,Y$auf den ebenen und sphärischen Koordinaten$\theta, \phi$auf der Kugel; die stereografische Projektion:

$$X+iY = \cot\frac{\theta}{2} e^{i\phi}$$

ist eine singuläre Funktion, da sie den Nordpol transformiert$\theta = 0$der Kugel zum großen Kreis im Unendlichen der Ebene.

Eine andere Möglichkeit, die Singularität zu sehen: Verwenden der inversen stereographischen Projektion:

$$\hat{M} = (\frac{X}{X^2+Y^2+1}, \frac{Y}{X^2+Y^2+1}, \frac{X^2+Y^2-1}{X^2+Y^2+1})$$

Die topologische Ladungsdichte

$$\rho_Q = \frac{1}{4 \pi} \hat{M} \cdot \big (\partial_X \hat{M} \times \partial_Y \hat{M} ) dX dY = \frac{1}{4 \pi} \frac{dXdY}{(1+X^2+Y^2)^2} = \frac{1}{4 \pi} \sin \theta d \theta d \phi$$

ist das Flächenelement der Kugel (normalisiert auf eine Flächeneinheit).

Im Flugzeug,$\rho_Q$ist eine exakte Form:

$$\rho_Q = dA_Q$$

Mit:

$$A_Q = \frac{1}{2 \pi} \frac{XdY-YdX}{1+X^2+Y^2}$$

Auf der Kugel ist es nicht genau, denn wenn wir schreiben:

$$\rho_Q = -d(\cos\theta d\phi) = -d(\phi d \cos\theta)$$

Weder$\phi$noch$d\phi$sind globale Funktionen oder Formen auf der Kugel.

Wenn die Abbildung glatt wäre, würde eine exakte Form in eine exakte Form transformiert, die notwendigerweise eine verschwindende topologische Ladung auf einer kompakten Mannigfaltigkeit ohne Rand hat. Es ist die Singularität der stereografischen Projektion, die die nicht verschwindende topologische Ladung hervorruft.

Die Skyrmion-Chiralität ist nicht topologisch. Linke und rechte Skyrmionen tragen die gleiche topologische Ladung. Für einen bestimmten Magneten sind linke und rechte Skyrmionen durch eine Energiebarriere getrennt und nur einer von ihnen ist die Lösung mit minimaler Energie. Die Barriere ist auf den Dzyaloshinsky-Moriya-Term zurückzuführen:

$$\int d^2x D \hat{M}\cdot(\nabla \times\hat{M})$$ Dieser Begriff existiert in Magneten mit gebrochener räumlicher Umkehrsymmetrie. Drehen des Skyrmion über die $z$-Achse um einen beliebigen Winkel $\theta$ $$\hat{M}' = (M_x \cos\theta + M_y \sin\theta , -M_x \sin\theta + M_y \cos\theta , M_z)$$ ändert weder die topologische Ladung noch die führenden Terme in ihrem Energiefunktional, wie z $J (\nabla \hat{M})^2$. Der Dzyaloshinsky-Moriya-Term ist jedoch linear $\sin \theta$, somit erhält man die minimale Energie bei $\theta = -\frac{\pi}{2}$wenn der Koeffizient $D$ist positiv u $\theta = \frac{\pi}{2}$, wenn es negativ ist. Das Vorzeichen hängt vom Vorzeichen der Spin-Bahn-Wechselwirkung der zugrunde liegenden mikroskopischen Theorie ab.

Es ist prinzipiell möglich, eine Skyrmion-Chiralität durch Steuerung des Parameters umzukehren$D$des Dzyaloshinsky-Moriya-Terms.

Die Skyrmion-Chiralität kann keiner topologischen Ladung zugeordnet werden, da die Umwandlung zwischen einem links- und einem rechtshändigen Skyrmion glatt ist. Außerdem die erste Homotopiegruppe$\pi_1(S^2) = 0$des$2$-Kugel verschwindet (die Kugel hat keine eindimensionalen Löcher), daher kann die Chiralität nicht als eindimensionale Windung wie im Fall eines Wirbels ausgedrückt werden.

Nur zwei Randbemerkungen zu Davids Antwort:

1. Topologische Stabilität und energetische Stabilität sind konzeptionell unterschiedlich. Der Grund, warum wir daran interessiert sind, Phasen anhand topologischer Zahlen zu klassifizieren, ist, dass normalerweise topologische unterschiedliche Konfigurationen Energiebarrieren haben. Im Skyrmion-Fall, um ein Skyrmion zu zerstören, was gleichbedeutend damit ist, den Down-Spin in der Mitte umzudrehen, und es kostet Ordnungsenergie$\sim A$wobei A die Austauschenergie zwischen den nächsten Spins ist. Unter dem Gesichtspunkt der Topologie sind nicht-chirales Skyrmion und chirales Skyrmion gleich und haben aufgrund der Topologie keine Energiebarriere. Sie sind alle topologisch entartet. Aber wir können den Dzyaloshinsky-Moriya-Effekt in das System einführen und eine Energiebarriere zwischen nicht-chiralem Skyrmion und chiralem Skyrmion schaffen. Diese Energiebarriere entsteht, weil wir statt Topologie neue Physik einführen.

2. Die von Ihnen definierte Windungszahl:

   $$N=\frac{1}{2\pi}\oint \delta \theta$$ ist im Skyrmion-Fall wohldefiniert. Aber es erfasst nicht die Chiralität. Sowohl für nicht-chirales als auch für chirales Skyrmion erhalten Sie die gleiche Windungszahl$1$. Tatsächlich kann die Skyrmion-Zahl auf die Windungszahl reduziert werden: $$N_{skyrmion}=\text{change in polarization} \cdot N_{\text{winding number}}$$ wo die Änderung der Polarisierung die Änderung der Polarisierung bedeutet$z$Komponenten für Spins von unendlich bis zum Center-Down-Spin. Um also die Skyrmion-Zahl zu zählen, müssen wir nur die Windungszahl zählen.