Warum kann der Knick nicht zum Vakuum tunneln, wodurch es topologisch stabil wird?

Question

Warum kann der Knick nicht zum Vakuum tunneln, wodurch es topologisch stabil wird?

Qft_Phys

Warum kann das knicken

ϕ (X) = v Tanh (\frac{X}{ξ})

$\phi(x)=v\tanh\left(\frac{x}{\xi}\right)$ nicht ins Vakuum tunneln

+ v

$+v$ oder

- v

$-v$ (mit spontaner Symmetriebrechung im Vakuum)?

Aus der Randbedingung $\phi(x)\rightarrow \pm v$ als $x\rightarrow\pm\infty$ , ist selbstverständlich. Allerdings heißt es in dem Buch:

Aufgrund der unendlich hohen Energiebarriere kann der Knick nicht ins Vakuum tunneln.

Wo ist die unendlich hohe Energiebarriere? Die Energiedichte ist

E (X) = \frac{G v^{4}}{2} {S e C H}^{4} (\frac{X}{ξ}),

$E(x)=\frac{gv^4}{2}{\rm sech}^4\left(\frac{x}{\xi}\right),$ deren Integration über den ganzen Raum endlich ist.

Wo ist die unendlich hohe Energiebarriere?

ACuriousMind

Hier fehlen Informationen: Welche Theorie ziehen Sie in Betracht, dh was ist die Lagrange-Funktion, was ist die

ξ

$\xi$ im Knick, und wie ist

v

$v$ bestimmt?

QMechaniker

Welches Buch heißt es?

Antworten (2)

Warum kann der Knick nicht zum Vakuum tunneln, wodurch es topologisch stabil wird?

Hier fehlen Informationen: Welche Theorie ziehen Sie in Betracht, dh was ist die Lagrange-Funktion, was ist die $\xi$ im Knick, und wie ist $v$ bestimmt?

QMechaniker · Answer 1

Hier gehen wir davon aus, dass die Frage von OP nach ungefähr fragt $\phi^4$ -Theorie in 1+1D, wo die Lagrange-Dichte lautet

\begin{matrix} (1) & L = \frac{1}{2} {\dot{ϕ}}^{2} - U, U := \frac{1}{2} ϕ^{' 2} + v, ϕ \in C^{1} (R^{2}), \end{matrix}

$\tag{1} {\cal L}~=~\frac{1}{2}\dot\phi^2 -{\cal U}, \qquad {\cal U}~:=~ \frac{1}{2} \phi^{\prime 2} + {\cal V},\qquad \phi \in C^1(\mathbb{R}^2),$

bei dem die $\phi^4$ -Potenzialdichte

\begin{matrix} (2) & v (ϕ) \propto (ϕ^{2} - v^{2})^{2} \geq 0 \end{matrix}

$\tag{2} {\cal V}(\phi)~\propto~(\phi^2-v^2)^2~ \geq~ 0$

hat zwei Mindestpunkte an $\phi=\pm v$ , dh ein Doppelbrunnen. In Gl. (1) der Punkt (Prime) bedeutet Differentiation bzgl. $t$ ( $x$ ), bzw.

Wir formulieren die Frage von OP wie folgt um:

Beweisen Sie, dass es keine endlichen Energiehomotopien gibt $\phi:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ zwischen den folgenden 4 topologischen Sektoren: dem Knick, dem Antikink und den beiden Vakuumlösungen $\phi=\pm v$ .

Hier hat der Knick Grenzen

\begin{matrix} (3) & lim_{X \to \pm \infty} ϕ (X) = \pm v, \end{matrix}

$\tag{3} \lim_{x\to \pm \infty}\phi(x)~=~\pm v,$ und der Knickschutz hat Grenzen

\begin{matrix} (4) & lim_{X \to \pm \infty} ϕ (X) = \mp v . \end{matrix}

$\tag{4} \lim_{x\to \pm \infty}\phi(x)~=~\mp v.$

Skizzierter indirekter Beweis: Angenommen, eine Homotopie $\phi$ existiert. Genauer gesagt zwischen dem Knick und der linken Vakuumlösung $\phi=-v$ . Also die Homotopie $\phi$ muss das Tal zum Positiven ändern $x$ . Da dies eher Phys.SE als Math.SE ist, nehmen wir dies der Einfachheit halber für beliebige Zeitpunkte an $t\in\mathbb{R}$ , Die Grenzen

\begin{matrix} (5) & F_{+} (T) := lim_{X \to \infty} ϕ (X, T) Und F_{-} (T) := lim_{X \to - \infty} ϕ (X, T), \end{matrix}

$\tag{5} f_+(t)~:=~\lim_{x\to \infty}\phi(x,t) \quad\text{and}\quad f_-(t)~:=~\lim_{x\to -\infty}\phi(x,t) ,$

existieren. Dann endliche potentielle Energie zu haben

\begin{matrix} (6) & v (T) := \int_{R} D X v (ϕ (X, T)) < \infty, \end{matrix}

$\tag{6} V(t)~:=~ \int_{\mathbb{R}}\! dx~{\cal V}(\phi(x,t))~<~\infty,$

Daraus folgt, dass die beiden Funktionen $f_{\pm}(t)$ kann nur die Werte übernehmen $\pm v$ . Intuitiv $\phi$ ist dann topologisch auf die beiden potentiellen Täler für ausreichend große beschränkt $x$ . Daraus folgt, dass es eine ausreichend große Konstante gibt $K$ so dass $\forall x\geq K$ die Funktion $t \mapsto \phi(x,t)$ kann nicht durchgehend sein $t$ . Widerspruch.

Verweise:

S. Coleman, Aspekte der Symmetrie, 1985; Abschnitt 6.3.1.
R. Rajaraman, Solitonen und Instantonen: Eine Einführung in Solitonen und Instantonen in der Quantenfeldtheorie, 1987; Abschnitte 2.3-2.4.

Slereah · Answer 2

Die Energiedichte des Staates $\pm v$ wird so etwas wie sein $\propto μ^4$ , wenn Sie die Basis verwenden $\varphi^4$ Theorie. Während die Energie der Domänenwand endlich ist, ist es die Energie des Vakuumzustands nicht, und daher wird der Übergang in den Vakuumzustand im gesamten Raum unendlich sein.

Vielen Dank für die tollen Antworten, sorry für die verspätete Antwort, ich habe mich gerade von einer schweren Krankheit erholt.

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Qft_Phys

ACuriousMind

QMechaniker

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QMechaniker

Slereah

Qft_Phys

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