Könnte dieses Modell Soliton-Lösungen haben?

Die Antwort auf diese Frage ist, keine Dimensionen von mehr als 1+1 anzunehmen. Dies ist ersichtlich, wenn man beobachtet, dass die Bewegungsgleichung für das fermionische Feld nur die Grenze der Masse ist, die von einem Skalarfeld, das mit einem fermionischen Feld gekoppelt ist, ins Unendliche geht. Dies kann auf folgende Weise gesehen werden. Betrachten Sie die Lagrange-Funktion

$$L = \frac{1}{2}(\partial\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2+\bar\psi(i\gamma\cdot\partial-g\phi)\psi.$$ Die Bewegungsgleichungen sind leicht zu erhalten $$\partial^2\phi+m^2\phi=g\bar\psi\psi\qquad (i\gamma\cdot\partial-g\phi)\psi=0.$$ Die Gleichung des skalaren Feldes kann sofort integriert werden, um zu geben $$\phi=g\int d^Dx\Delta(x-y)\bar\psi(y)\psi(y)$$ mit dem Propagator der eines freien Teilchens. Dieser Propagator ist im Grenzbereich einer sehr großen Masse des Skalarfeldes gerade proportional zu $\delta^D(x-y)$. Diese Beobachtung ist entscheidend für das Folgende. Also bleibt uns die Gleichung $$(i\gamma\cdot\partial-\kappa\bar\psi\psi)\psi=0$$ wo $\kappa$ist eine Konstante, die von den Parametern abhängt $m$und $g$des Lagrange, von dem wir ausgegangen sind. Auf diese Weise haben wir die vom OP vorgeschlagene Gleichung wiederhergestellt, aber wir haben gerade bewiesen, dass dies die große Massengrenze eines an ein Fermionenfeld gekoppelten Skalarfelds ist.

Jetzt führen wir eine Quantenfeldtheorie auf der anfänglichen Lagrange-Funktion durch und schreiben die Zustandssumme auf als

$$Z[j,\bar\eta,\eta]=\int[d\phi][d\bar\psi][d\psi]e^{i\int d^Dx\left[\frac{1}{2}(\partial\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2+\bar\psi(i\gamma\cdot\partial-g\phi)\psi\right]} e^{i\int d^Dx\left[j\phi+\bar\eta\psi-\bar\psi\eta\right]}.$$ Der Fermion-Teil kann sofort integriert werden, um ein Potential zum Skalarfeld in der Form zu erzeugen $$V(\phi)=-i{\rm tr}\ {\rm ln}\left[i\gamma\cdot\partial-g\phi\right]_{(x,x)}.$$ Dies kann durch eine Schleifenerweiterung als ausgewertet werden $$V(\phi)=-g_1\phi^3-g_2\phi^4+\ldots.$$ Unabhängig vom Wert der Masse des Skalarfeldes und dem Vorhandensein eines endlichen vev wissen wir nun unter Verwendung des Derrick-Theorems , dass stationäre lokalisierte Lösungen einer nichtlinearen Wellengleichung oder einer nichtlinearen Klein-Gordon-Gleichung in Dimensionen drei und höher instabil sind. Dies schließt den Beweis ab, dass die durch das OP gelieferte Modellgleichung keine Solitonenlösungen in den Dimensionen drei und höher hat. In den Dimensionen 1+1 können diese existieren.