Was ist die Definition von soliton?

Was ist die Definition von soliton? Ich bin diesem Namen in verschiedenen Situationen begegnet, z. B. wenn es um QFT, Fluiddynamik oder Optik geht, aber ich kann keine allgemeine Definition finden. Ich habe verstanden, dass es eine Lösung einer nichtlinearen Wellengleichung ist, aber ich habe nicht mehr gefunden.

Können Sie mir erklären, was ein Soliton ist?

Ein Soliton ist eine sich selbst verstärkende Einzelwelle, die sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt und dabei ihre Form beibehält. Solitonen stellen Lösungen für eine große Klasse schwach nichtlinearer dispersiver partieller Differentialgleichungen dar, die physikalischen Systemen zugeordnet sind. Solitonen werden durch eine Aufhebung nichtlinearer und dispersiver Effekte im Medium verursacht. (Der Begriff "dispersive Effekte" bezieht sich auf eine Eigenschaft bestimmter Systeme, bei denen die Geschwindigkeit der Wellen je nach Frequenz variiert).

Dispersion und Nichtlinearität können sich kombinieren und zu permanenten und lokalisierten Wellenformen führen. Solitonen sind das Ergebnis des nichtlinearen Kerr-Effekts: Der Brechungsindex eines Materials bei einer bestimmten Frequenz hängt von der Amplitude der Welle ab. Wenn der Puls genau die richtige Form hat, wird der Kerr-Effekt den ansonsten störenden dissipativen Effekt präzise aufheben und die Form des Pulses wird sich im Laufe der Zeit nicht ändern.

Simulation einer Kollision zwischen 2 Solitonen. Bildquelle: Scholarpedia. org

Quelle: Aus Wikipedia Korte-de Vries

Die Korteweg-de-Vries (KdV)-Gleichung ist die Grundlage von Modellgleichungen nichtlinearer Wellen.

KdV-Gleichung ist$u_t + u_{xxx} + 6uu_x= 0$

Betrachten Sie Lösungen, bei denen eine feste Wellenform (gegeben durch $f(X))$behält seine Form bei, wenn er sich mit der Phasengeschwindigkeit c nach rechts bewegt. Eine solche Lösung ist gegeben durch ${\displaystyle \phi }(x,t) = f(x − ct − a) = f(X)$. Einsetzen in die KdV-Gleichung ergibt die gewöhnliche Differentialgleichung

${\displaystyle -c{\frac {df}{dX}}+{\frac {d^{3}f}{dX^{3}}}+6f{\frac {df}{dX}}=0,}$

oder nach X integrierend,

${\displaystyle -cf+{\frac {d^{2}f}{dX^{2}}}+3f^{2}=A}$

Wo $A$ ist eine Integrationskonstante. Interpretieren der unabhängigen Variablen $X$ oben als virtuelle Zeitvariable, das heißt $f$erfüllt die Newtonsche Bewegungsgleichung in einem kubischen Potential. Wenn Parameter so eingestellt werden, dass die Potentialfunktion $V(f)$hatlokales Maximum bei $f = 0$, gibt es eine Lösung, in der $f(X)$beginnt an diesem Punkt zur 'virtuellen Zeit' −∞, gleitet schließlich bis zum lokalen Minimum herunter, dann auf der anderen Seite wieder hoch, erreicht eine gleiche Höhe, kehrt dann die Richtung um und endet zur Zeit wieder am lokalen Maximum $∞$. Mit anderen Worten, $f(X)$nähert sich 0 als $X → ±∞$. Dies ist die charakteristische Form der Einzelwellenlösung.

Genauer gesagt ist die Lösung

${\displaystyle \phi (x,t)={\frac {1}{2}}\,c\,\mathrm {sech} ^{2}\left[{{\sqrt {c}} \over 2}(x-c\,t-a)\right]}$

wobei sech für den hyperbolischen Sekans steht und a eine beliebige Konstante ist. Dies beschreibt ein sich nach rechts bewegendes Soliton.

Von Scholarpedia.org . Im Folgenden finden Sie eine Zusammenfassung einiger Einzelwellen und Solitonentypen, die in vielen Disziplinen zu finden sind, nicht nur in der Physik, sondern beispielsweise auch in Biologie und Mathematik.

Seit der Entdeckung von Einzelwellen und Solitonen wurde eine Menagerie lokalisierter Pulse sowohl in einer Dimension als auch in mehreren räumlichen Dimensionen untersucht, obwohl man nuanciert sein muss, wenn man betrachtet, was eine Einzelwelle (oder sogar eine lokalisierte Lösung) in mehreren räumlichen Dimensionen ausmacht. Vielen lokalisierten Impulsen wurde aus Gründen der Prägnanz ein Spitzname gegeben, der auf "on" endet, obwohl sie im Allgemeinen keine ähnlichen Wechselwirkungseigenschaften wie Solitonen haben. Zu den prominentesten Beispielen gehören die folgenden:

Hüllkurven-Solitonen: Einzelwellenbeschreibungen der Hüllkurven von Wellen, wie sie beispielsweise bei der Ausbreitung modulierter ebener Wellen in einem dispersiven nichtlinearen Medium mit amplitudenabhängiger Dispersionsbeziehung entstehen.

Lückensoltonen: Einzelwellen, die in endlichen Lücken im Spektrum kontinuierlicher Systeme auftreten. Beispielsweise wurden Lücken-Solitonen ziemlich gründlich in NLS-Gleichungen mit räumlich periodischen Potentialen untersucht und experimentell sowohl im Zusammenhang mit nichtlinearer Optik als auch mit Bose-Einstein-Kondensation beobachtet.

Intrinsic Localized Modes (ILMs): ILMs oder diskrete Atmer sind extrem räumlich lokalisierte, zeitperiodische Erregungen in räumlich ausgedehnten, diskreten, periodischen (oder quasiperiodischen) Systemen. (Derzeit ist nicht klar, ob analoge zeitquasiperiodische Lösungen für allgemeine Gittergleichungen konstruiert werden können.

q-breathers : Exakte zeitperiodische Lösungen räumlich ausgedehnter nichtlinearer Systeme, die aus den Normalmoden eines entsprechenden linearen Systems fortgeführt werden.

Topologische Solitonen: Solitonen, wie einige Lösungen der Sinus-Gordon-Gleichung, die aufgrund topologischer Einschränkungen entstehen. Ein Beispiel ist ein Skyrmion, das die Einzelwellenlösung eines Nuklearmodells ist, dessen topologische Ladung die Baryonenzahl ist.

Andere Beispiele umfassen Domänenwände, die sich auf Grenzflächen beziehen, die bestimmte Ordnungsregionen trennen und die sich spontan bilden, wenn eine diskrete Symmetrie (z. B. Zeitumkehrsymmetrie) gebrochen wird, Schraubenversetzungen in kristallinen Gittern und der magnetische Monopol.

Vortex-Solitonen: Ein Begriff, der häufig auf Phänomene wie Wirbelringe (ein sich bewegendes, rotierendes, toroidförmiges Objekt) und Wirbellinien (die immer tangential zur lokalen Vorticity sind) angewendet wird. Kohärente wirbelartige Strukturen entstehen auch in dissipativen Systemen.

Dissipative Solitonen: Stabile lokalisierte Strukturen, die in räumlich ausgedehnten dissipativen Systemen entstehen. Sie werden oft im Zusammenhang mit nichtlinearen Reaktions-Diffusions-Systemen untersucht.

Oszillationen: Eine lokalisierte stehende Welle, die in körnigen und anderen dissipativen Medien entsteht, die zB aus der vertikalen Vibration einer Platte resultiert, die von einer Schicht aus freien Partikeln bedeckt ist.

Höherdimensionale Einzelwellen: Einzelwellen und andere lokalisierte (und teilweise lokalisierte) Strukturen wurden auch in höherdimensionalen Umgebungen untersucht.

Zahlreiche Verallgemeinerungen der obigen Beispiele wurden ebenfalls untersucht, da man Ketten von Solitonen, diskrete Analoga der obigen Beispiele (wie diskrete Wirbel-Solitonen), semi-diskrete Beispiele (wie raumzeitliche Einzelwellen in Arrays von optischen Fasern), eine Art von Soliton, die in eine andere Art „eingebettet“ ist, Einzelwellen in nichtlokalen Medien, Quanten-Einzelwellen und mehr, einschließlich ihrer Beteiligung an der periodischen Bewegung von Newtons Wiege

Die Definition von Soliton kann sich von Autor zu Autor ändern. Dem stimmen sie normalerweise zu

1. Ein Soliton muss eine nicht-singuläre, lokalisierte und statische Lösung mit endlicher Energiedichte für nichtlineare Feldgleichungen sein.

Eine lokalisierte Lösung bedeutet, dass sich die Felder dem Vakuum ausreichend schnell nähern, so dass die Energiedichte im Raum lokalisiert ist. Das Erfordernis, dass die Energiedichte statisch sein muss, bedeutet, dass sie sich nicht verzerrt und ihre Formen beibehält, wenn wir sie reisen lassen, indem wir sie verstärken. Lösungen, die Bedingung 1. erfüllen, werden auch Einzelwellen genannt.

Einige Autoren stellen die weitere Anforderung, dass

2. Wenn wir zwei solche Lösungen interagieren lassen, können sich ihre Energiedichteprofile nicht asymptotisch ändern (in der fernen Vergangenheit und fernen Zukunft).

Obwohl eine strenge Definition auf der Grundlage von 1. und 2. zwischen einer einsamen Welle und einem Soliton unterscheiden würde, verwenden die meisten Autoren diese Begriffe synonym.

Die Motivation, eine solche Definition anzunehmen, besteht darin, nach Lösungen nichtlinearer Gleichungen zu suchen, die Lösungen linearer Gleichungen ähneln, dh die in gewissem Sinne dispersionsfrei sind und eine erhaltende Wechselwirkung der Formen zeigen.

Solitonen können entsprechend dem Mechanismus klassifiziert werden, der ihre Stabilität garantiert. Nicht-topologische Solitonen behalten ihre Form, weil die Felder durch Noether-Ladungen eingeengt werden. So hat zum Beispiel die KdV-Gleichung eine unendliche Anzahl kontinuierlicher Symmetrien, die unendlich viele Erhaltungsgesetze hervorrufen, und dies verhindert, dass das KdV-Soliton zerfällt. Andererseits haben topologische Solitonen ihre Stabilität durch die Erhaltung topologischer Ladungen. Diese Ladungen beziehen sich nicht auf Noether-Symmetrien und beziehen sich normalerweise auf die Topologie des Vakuumverteilers der Theorie. Beispielsweise sind Knicke, kosmische Strings und Monopole Beispiele für topologische Solitonen. Alle von ihnen sind aufgrund der nicht trivialen Topologie des Vakuumverteilers stabil. Für Knicke wird der Vakuumverteiler getrennt, für den kosmischen String wird er nicht einfach verbunden,