Noetherstrom des Dirac-Feldes unter Raumzeittranslation [geschlossen]

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Noetherstrom des Dirac-Feldes unter Raumzeittranslation [geschlossen]

Benutzer310364

Mein Problem ist, dass ich nicht verstehe, wie man den Noether-Strom unter Raumzeit-Übersetzung der Lagrange-Dichte des Dirac-Feldes berechnen kann. Ich weiß, dass Sie am Ende die Energie und den Impuls als Erhaltungsgrößen erhalten, aber als ich es selbst versuchte, war ich verwirrt und das Internet lieferte keine richtige Berechnung, sondern nur die Lösung, wenn Sie lange genug suchen.

Die Lagrange-Dichte des Dirac-Feldes ist $\mathcal{L} =\overline{\psi}(i\gamma _{\mu} \partial _{\mu} -m)\psi$

und die Raumzeit-Übersetzung manifestiert sich durch $x'^{\mu} = x^{\mu} - \epsilon ^{\mu}$

Dann bekommen wir $\Delta\psi (x) = \epsilon ^{\mu} \partial _{\mu} \psi (x)$ für die Felder u $\Delta\mathcal{L} (x) = \epsilon ^{\mu} \partial _{\mu} \mathcal{L} (x)$ für die Langrangian als infinitesimale Transformationen. Als nächsten Schritt würdest du die Formel für den Noetherstrom nehmen und dann ausfüllen und berechnen, aber da verliere ich mich.

Triatticus

Was haben Sie konkret versucht? Sie sollten die Arbeit zeigen, die Sie zu erledigen versucht haben.

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Noetherstrom des Dirac-Feldes unter Raumzeittranslation [geschlossen]

Was haben Sie konkret versucht? Sie sollten die Arbeit zeigen, die Sie zu erledigen versucht haben.

2Bn2B · Answer 1

Lagrangian des Dirac-Feldes ist

L = \bar{ψ} [ich γ^{μ} \partial_{μ} - M] ψ .

$\mathcal{L} = \bar\psi [ i \gamma^\mu \partial_\mu - m ] \psi .$

Betrachten wir nun eine infinitesimale Änderung

X^{μ} \to X^{' μ} = X^{μ} + ϵ^{μ} .

$x^\mu \to x'^\mu = x^\mu + \epsilon^\mu .$ Das Feld ändert sich wie folgt:

ψ (X) \to ψ^{'} (X) = ψ (X) + ϵ^{μ} \partial_{μ} ψ (X) .

$\psi(x) \to \psi'(x) = \psi(x) + \epsilon^\mu \partial_\mu \psi(x) .$ Lassen Sie uns definieren

δ ψ := ϵ^{μ} \partial_{μ} ψ (x)

$\delta\psi := \epsilon^\mu \partial_\mu \psi(x)$ . Die Änderung der Lagrange-Funktion ist gegeben durch (das gilt für jedes Feld !)

δ L = \partial_{μ} (ϵ^{μ} L) .

$\delta\mathcal{L} = \partial_\mu (\epsilon^\mu \mathcal{L}) .$ Da dies eine totale Ableitung ist, können Sie den Satz von Noether anwenden und erhalten

\begin{aligned} J^{μ} & = (δ ψ^{A}) (\frac{\partial}{\partial (\partial ψ^{A})} L) - ϵ^{μ} L \\ = ϵ_{v} \partial^{v} ψ^{A} (- (\bar{ψ} ich γ^{μ})_{A}) - ϵ_{v} η^{μ v} L \\ = ϵ_{v} [ich \bar{ψ} γ^{μ} \partial^{v} ψ - η^{μ v} L] . \end{aligned}

$\begin{align} j^\mu &= (\delta\psi^a) \left( \frac{\partial}{\partial (\partial \psi^a)} \mathcal{L} \right) - \epsilon^\mu \mathcal{L} \\ &= \epsilon_\nu \partial^\nu \psi^a (-(\bar\psi i \gamma^\mu)_a) - \epsilon_\nu \eta^{\mu\nu} \mathcal{L} \\ &= \epsilon_\nu [ i \bar\psi \gamma^\mu \partial^\nu \psi - \eta^{\mu\nu} \mathcal{L} ] . \end{align}$ Ich habe explizit Indizes von Dirac-Spinoren geschrieben. Beachten Sie, dass

ψ

$\psi$ Und

\bar{ψ}

$\bar\psi$ Anti-Pendler! Hier erhalten wir einen 2-Rang-Tensor

T^{μ v} := ich \bar{ψ} γ^{μ} \partial^{v} ψ - η^{μ v} L,

$T^{\mu\nu} := i \bar\psi \gamma^\mu \partial^\nu \psi - \eta^{\mu\nu} \mathcal{L} ,$ die wir Energie-Impuls-Tensor nennen .

Noetherstrom des Dirac-Feldes unter Raumzeittranslation [geschlossen]

Benutzer310364

Triatticus

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2Bn2B

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