Nyquist-Shannon-Abtasttheorem für nicht unendliche Signale

Können wir mit dem Nyquist-Shannon-Theorem Signale mit nicht unendlicher "Länge" abtasten und wiederherstellen? Zum Beispiel, wenn wir ein Signal haben

X ( T ) = u ( T + 5 ) − u ( T − 5 )
und wir wissen, dass seine Abtastperiode T kleiner als 10 s ist (T < 10). Können wir es mit dem Nyquist-Theorem wiederherstellen? Wenn nicht, was können wir tun, um es wiederherzustellen?

Bearbeiten: Ich habe die Fourier-Transformation dieses Signals genommen und es ist:

X ( ω ) = 2 ich ( 1 ich ω + π δ ( ω ) ) S ich N ( 5 ω )
was dazu führen kann, dass der Zeitraum als gefunden wird
2 π 5
und sehen Sie tatsächlich, dass es wiederhergestellt werden kann, wenn f > = 5 / π ist. Dies ist jedoch möglicherweise nicht möglich, da ich den Satz verwendet habe, obwohl wir uns auf einem endlichen Signal befinden

Im Ernst, wir brauchen eine Option, um Fragen für den Wechsel zu dsp.stackexchange.com zu kennzeichnen
@pipe Da sich die Frage auf Elektronik und die Ideologie dieses Forums bezieht, denke ich, dass es falsch wäre, wenn Sie das tun würden.
Was ist daran elektronisch?
@pipe ist deine Frage nicht irgendwie philosophisch? Ich werde dies hier nicht fortsetzen, da mein Beitrag als aus dem Kontext gerissen gekennzeichnet wird: P (nur aus den Kommentaren)
"Signale" ist alles in der Elektronik. Obwohl wir einen anderen Stack-Austausch für DSP haben.
@ChrisStratton Ich habe einen Fehler gemacht, es ist eine Probenahmeperiode
Schaltkreise vom Systemdenken zu trennen, ist eine SCHLECHTE Idee.

Antworten (2)

Keine Notwendigkeit, über "endliche Länge" nachzudenken. Obwohl kontinuierliche Zeitsignale für unendliche Zeitintervalle definiert sind, analysieren wir sie in der Praxis nur in einem endlichen Intervall. Ihr x(t) ist im Intervall [-5 5] definiert.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Die Frequenzbereichsdarstellung eines solchen Signals ist eine Sinusfunktion mit unendlicher Bandbreite.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Daher ist es nicht möglich, eine bestimmte Abtastrate gemäß dem Nyquist-Theorem zu definieren, um sie perfekt zu rekonstruieren, ohne Informationen zu verlieren. Aber Sie können es mit jeder bestimmten Abtastrate abtasten, was dann implizit das Signal bandbegrenzt. Dieses abgetastete Signal sieht nach der Rekonstruktion durch DAC und LPF nicht so perfekt aus wie das Original, da es bandbegrenzt wäre. Es wird eine endliche Übergangszeit für Anstieg und Abfall haben.

+1 für klare Antwort. Wenn die Option besteht, werden die Ingenieure überabtasten, um das zu extrahieren, was sie benötigen.
@MITU RAJ, aber können wir den Satz verwenden, um zu sagen, ob wir ihn rekonstruieren können? oder beschränkt sich die Theorie auf Signale, die von ausgehen
− ∞
Zu
+ ∞
und nicht von -5 bis 5 wie bei mir?
@Maverick x(t) ist zeitlich begrenzt [-5 5]. Das Frequenzspektrum von x(t) ist immer noch unendlich. Es definiert keine maximale Häufigkeit für x(t) . Macht es ? Können Sie also das Nyquist-Abtasttheorem anwenden und eine Abtastrate definieren, die x(t) perfekt rekonstruiert? Nö.
Selbst wenn x(t) ein unendlich periodisches Signal wäre, analysieren wir es immer noch in einem endlichen Intervall in der realen Welt.
@ΜITU RAJ Ich verstehe, danke, eine letzte Frage, warum können wir nicht sagen, dass die 5 innerhalb von sin (5ω) eine maximale Frequenz ist, weil das eigentlich die einzige Frequenz ist, die wir hier haben
Ich denke, Sie verwechseln Zeitbereich und Frequenzbereich. sin 5w bedeutet die Größe der Sinuswelle bei Frequenz = w im Frequenzbereich. Es ist genau wie das Zeichnen von sin 5t im Zeitbereich.

Ein anderer Satz von Basisfunktionen, die zeitbegrenzt sind, würde gut funktionieren. Zum Beispiel das Zerlegen in Haar-Wavelets. Sie erhalten viele der Vorteile komplexer Exponentialbasen für bestimmte Arten der Signalverarbeitung.

Es gibt Abtasttheoreme für Wavelet-Basen (z. B. kann die Haar-Wavelet-Basis viele Funktionen innerhalb eines endlichen Bereichs von "Frequenzen" darstellen).

Ich erwähne dies, weil es sehr relevant ist, etwas über die Wavelet-Signalverarbeitung zu lernen, wenn Ihre Signale eine endliche Unterstützung in der Zeitdimension haben. Zum Beispiel für die Verarbeitung von 2D-Intensitäten in einem Foto – die scharfen Kanten können mit Wavelets aufgelöst werden, oft mit viel weniger Termen.

Willkommen bei EE.SE. Ihre Antwort hätte in Form von Gleichungen vorliegen müssen, um sie zu „beweisen“. Dies ist eine Art von Frage, bei der Worte allein nicht ausreichen.
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