Optisches Theorem für antinormale Ordnung

Question

Optisches Theorem für antinormale Ordnung

Physik
Quantenoptik
Quantenmechanik

StarBuck

In diesem Papier: https://arxiv.org/abs/1206.3405

Sie betrachten eine Dichtematrix:

ρ = \int P (a) | a ⟩ ⟨ a |

$\rho = \int P(\alpha) |\alpha\rangle \langle \alpha |$

Wo $|\alpha \rangle$ sind kohärente Zustände.

Damit können wir ihre Formel (5) leicht beweisen:

⟨ (A^{†})^{M} A^{N} ⟩ = Tr [ρ (A^{†})^{M} A^{N}] = \int P (a) Tr [(A^{†})^{M} A^{N} | a ⟩ ⟨ a |]

$\langle ({a^{\dagger}})^m a^n \rangle =\operatorname{Tr}[\rho ({a^{\dagger}})^m a^n]=\int P(\alpha) \operatorname{Tr}[({a^{\dagger}})^m a^n|\alpha\rangle \langle \alpha |]$

Und wir verwenden die kreisförmige Permutation der Spur + die Tatsache, dass $\operatorname{Tr}(|\alpha \rangle \langle \alpha|)=1$ , und wir enden mit :

⟨ (A^{†})^{M} A^{N} ⟩ = \int a^{N} {a^{*}}^{M} P (a)

$\langle ({a^{\dagger}})^m a^n \rangle=\int \alpha^n {\alpha^{*}}^m P(\alpha)$ das ist ihre Formel (5).

Aber ich verstehe nicht, wie wir ihre Formel (7) finden können:

Tatsächlich hätten wir:

⟨ A^{N} (A^{†})^{M} ⟩ = Tr [ρ A^{N} (A^{†})^{M}] = \int P (a) Tr [(A^{N} A^{†})^{M} | a ⟩ ⟨ a |]

$\langle a^n ({a^{\dagger}})^m \rangle=\operatorname{Tr}[\rho a^n ({a^{\dagger}})^m ]=\int P(\alpha) \operatorname{Tr}[(a^n {a^{\dagger}})^m |\alpha\rangle \langle \alpha |]$

Aber um fortzufahren, müsste ich entweder die Aktion kennen:

$({a^{\dagger}})^m |\alpha\rangle$ (Ich weiß nicht genau warum, aber ich weiß, dass es nicht so ist ${\alpha^{*}}^m |\alpha \rangle$ )

Oder ich müsste die große Umwandlung der Kraft der Schöpfung/Vernichtung vornehmen.

Daher bin ich ein wenig festgefahren: Wie können wir die Formel beweisen? $(7)$ des Artikels?

Ich habe die Seiten gelesen: https://en.wikipedia.org/wiki/Glauber%E2%80%93Sudarshan_P_representation https://en.wikipedia.org/wiki/Optical_equivalence_theorem und ich stecke immer noch fest.

Was ich von der ersten Seite verstehe, ist, dass wir die Dichtematrix entweder schreiben können:

ρ = \int P (a) | a ⟩ ⟨ a |

$\rho = \int P(\alpha) |\alpha\rangle \langle \alpha |$

oder

ρ_{A} = \sum_{J k} C_{J k} A^{k} (A^{†})^{k}

$\rho_A = \sum_{jk} c_{jk} a^k (a^{\dagger})^k$

Und wir haben die Beziehung $P(\alpha)=\frac{1}{\pi} \rho_A(\alpha, \alpha^*)$

Also denke ich, dass die Formel mit nützlich ist $\rho_A$ aber ich stecke fest, wenn ich es verwende, um zu versuchen, (7) zu beweisen.

Antworten (1)

Optisches Theorem für antinormale Ordnung

Noah · Answer 1

Fügen Sie einen Einheitsoperator in die ein $|\alpha\rangle$ -Basis zwischen $a^n$ Und $(a^\dagger)^m$ . Nach der Notation im Papier haben wir

⟨ A^{N} (A^{†})^{M} ⟩ = tr [ρ_{A} A^{N} (A^{†})^{M}] = \int_{a} \frac{1}{π} ⟨ a | ρ_{A} A^{N} (A^{†})^{M} | a ⟩ = \int_{a β} \frac{1}{π^{2}} ⟨ a | ρ_{A} \underset{β^{N} | β ⟩}{\underset{⏟}{A^{N} | β ⟩}} \underset{⟨ β | {β^{*}}^{M}}{\underset{⏟}{⟨ β | (A^{†})^{M}}} | a ⟩ = \int_{a β} \frac{1}{π^{2}} ⟨ β | a ⟩ ⟨ a | ρ_{A} | β ⟩ β^{N} {β^{*}}^{M} = \int_{β} \frac{1}{π} ⟨ β | ρ_{A} | β ⟩ β^{N} {β^{*}}^{M} = \int_{a} Q_{A} (a) a^{N} {a^{*}}^{M} .

$\langle a^n (a^\dagger)^m \rangle = \operatorname{tr}[\rho_a a^n (a^\dagger)^m] = \int_\alpha \frac{1}{\pi} \langle\alpha|\rho_a a^n (a^\dagger)^m |\alpha\rangle = \int_{\alpha\beta} \frac{1}{\pi^2} \langle\alpha|\rho_a \underbrace{a^n |\beta\rangle}_{\beta^n|\beta\rangle}\underbrace{\langle\beta| (a^\dagger)^m}_{\langle\beta|{\beta^*}^m} |\alpha\rangle = \int_{\alpha\beta} \frac{1}{\pi^2} \langle\beta|\alpha\rangle\langle\alpha|\rho_a |\beta\rangle\beta^n{\beta^*}^m = \int_\beta \frac{1}{\pi}\langle\beta|\rho_a|\beta\rangle \beta^n {\beta^*}^m = \int_\alpha Q_a(\alpha) \alpha^n {\alpha^*}^m.$

Das haben wir genutzt $\mathbb{I} = \int_\beta \frac{1}{\pi} |\beta\rangle\langle\beta|$ (wie auch hier angegeben ).

Ich bin mir nicht sicher, ob ich das verstehe. Tatsächlich hast du geschrieben $\langle \beta | \alpha \rangle = \delta_{\alpha \beta}$ aber unsere Basis ist nicht orthonormal, da wir mit kohärenten Zuständen arbeiten. Außerdem bin ich mir nicht sicher, ob wir den Trace schreiben können $\int_{\alpha} \langle \alpha \rho_a a^n (a^{\dagger})^m | \alpha \rangle$ . In der Tat, die $|\alpha\rangle$ deckt mehr als den gesamten Raum ab (sie überspannen den Hilbert-Raum mit einigen Erholungen). Könnten Sie das bitte erklären?
Vielleicht war es nicht klar, dass ich von kohärenten Zuständen gesprochen habe (ich habe den Link zu dem Papier gemacht, aber ich habe es nicht explizit gesagt). Ich habe jetzt editiert!
Ich habe tatsächlich einen Faktor verpasst $1/\pi$ für die Spur. Der Rest war schlampige Notation meinerseits, sorry dafür. Hoffe es ist jetzt klarer.
Ihre letzte Aussage im obigen Kommentar scheint nicht korrekt zu sein. Warum bringst du stattdessen nicht einfach $\langle \beta | \alpha \rangle$ nach links und Identität entfernen.
Ich bin mir nicht sicher, worauf Sie sich beziehen. Es gab jedoch einen Fehler in der letzten Zeile, wo das Integral nicht hätte sein sollen.
Ich meinte, dass Sie daraus schließen können: $\int_{\alpha\beta} \frac{1}{\pi^2} \langle\alpha|\rho_a |\beta\rangle\beta^n{\beta^*}^m \langle\beta|\alpha\rangle = \int_{\alpha\beta} \frac{1}{\pi^2} \langle\beta|\alpha\rangle\langle\alpha|\rho_a |\beta\rangle\beta^n{\beta^*}^m = \int_{\beta} \frac{1}{\pi} \underbrace{\langle\beta|\rho_a |\beta\rangle}_{Humisi-Q-function}\beta^n{\beta^*}^m$ .

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