Paradoxon des Zusammenbruchs der Wellenfunktion in einen unphysikalischen Zustand

"Durch eine Messung springt das System immer in einen Eigenzustand der zu messenden dynamischen Größe, wobei der Eigenwert, zu dem dieser Eigenzustand gehört, gleich dem Ergebnis der Messung ist."

— PAM Dirac, Die Prinzipien der Quantenmechanik

Dies ist eines der Postulate der Quantenmechanik. Es gibt jedoch einige Fälle, in denen diese Aussage zu Widersprüchen führt.

Wir wissen zum Beispiel, dass die Eigenfunktionen des Impulsoperators (der Einfachheit halber in 1D)

p ^ = − ich ℏ ∂ ∂ x

sind ebene Wellen:

ψ p ( x ) = EIN e ich p x / ℏ

Diese Eigenfunktionen sind nicht normierbar und daher als physikalische Zustände nicht akzeptabel.

Versucht man das genannte Postulat auf den Impulsoperator anzuwenden, gerät man also in einen Widerspruch: Das System kann nicht in einen Eigenzustand des Impulsoperators springen, weil ein solcher Eigenzustand nicht normierbar und damit kein physikalischer Zustand wäre.

Dieses Paradoxon wird üblicherweise damit abgetan, dass diese Argumentation für eine ideale Messung gilt, die in der Praxis nicht realisierbar ist, und dass die Situation bei einer nicht idealen Messung anders ist. Aber diese Antwort scheint mir nicht befriedigend zu sein: Obwohl sie sinnvoll ist, ist nicht klar, was der theoretische Grund ist, warum eine ideale Messung nicht realisierbar ist.

Es scheint nur zwei mögliche Lösungen für dieses Paradoxon zu geben:

  1. Das zitierte Postulat ist falsch.
  2. Der Impulsoperator ist etwas schlecht definiert: Zum Beispiel können wir vielleicht nicht einfach annehmen, dass sein Definitionsbereich die Menge aller hinreichend regulären (*) Funktionen ist f ∈ L 2 ( R ) wie wir es normalerweise tun. In diesem Fall ist es vielleicht möglich, eine Definition des Impulsoperators anzugeben, die mit dem zitierten Postulat übereinstimmt.

Was ist eine mögliche Lösung für dieses Paradoxon?

PS: Soweit es mich betrifft, ist es völlig in Ordnung zu antworten, dass die Lösung darin besteht, dass eine ideale Messung in der Praxis physikalisch nicht realisierbar ist, aber nur , wenn eine solche Behauptung mit strengen theoretischen Argumenten untermauert wird, die erklären, warum dies der Fall ist .

(*) Manchmal ist die auferlegte Bedingung die absolute Kontinuität von f , aber ich weiß nicht, ob es gelockert werden kann.

Aktualisierung

  • Verwandte Fragen und Antworten:

- Messung von Observablen mit kontinuierlichem Spektrum: Zustand des Systems danach (vorgeschlagen von ACuriousMind). Nach einiger Diskussion fügte der Autor ein wunderbares Addendum hinzu, das vielleicht als Antwort auf diese Frage angesehen werden kann.

- Quantenmechanik - Positionsmessung .

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Ich habe diesen Artikel und diesen Artikel (kostenloser Download) gefunden , die sich genau mit diesem Problem befassen, aber sie sind ziemlich technisch und ich muss sie noch richtig vertiefen.

Sie hätten diese wahrscheinlich gesehen , aber ich poste trotzdem auf die Chance ........ wie auch immer, der einzige Unterschied zwischen Ihrer Frage und der im Link ist der der Positions- und Impuls-Eigenfunktionen
@PrasadMani Ja, ich habe diese Frage gesehen, aber ich denke, dass meine etwas spezifischer ist: Ich interessiere mich für eine strenge formale Lösung dieses Paradoxons. Danke trotzdem.
Schauen Sie sich diese Frage und Antwort an (mögliches Duplikat!) - Das von Ihnen zitierte Postulat gilt für eine Observable mit diskretem, nicht entartetem Spektrum und muss im Allgemeinen durch das Lüders-von-Neumann-Axiom ersetzt werden.
@ACuriousMind Diese Antwort ist in der Tat interessant, aber irgendwie nicht ganz zufriedenstellend, weil nicht klar ist, was das ist δ sollte genau sein. Vielleicht sollte ich mir POVMs und den Formalismus von Kraus-Operatoren genauer ansehen, wie der Autor der Antwort in einem der Kommentare vorschlägt. Ich habe sie in einem Quanteninformationskurs studiert, aber nicht so tiefgründig. Am Ende läuft alles auf eine rigorose mathematische Formalisierung des Messvorgangs hinaus, und soweit ich weiß, gibt es nicht nur eine akzeptierte Theorie ...
@ACuriousMind PS Ich denke, dass wir diese Frage nicht als Duplikat dieser Frage betrachten können, da der Impulsoperator möglicherweise irgendwie schlecht definiert ist. Aber ja, der andere Teil mehr oder weniger gleich.
@valerio92: δ hängt davon ab, wie genau die Messung durchgeführt wird. Darüber hinaus gibt es viele weitere Arten von Messungen, die nicht genau durch das Lüders-von-Neumann-Axiom beschrieben werden. Und in der Tat ist es in der Praxis zweifellos unmöglich, eine Lüders-von-Neumann-Messung genau so durchzuführen, wie in der Praxis des Fensters ( x − δ , x + δ ) wird keine scharfen Kanten haben.
es ist nicht klar, was der theoretische Grund ist, warum eine ideale Messung nicht realisierbar ist" - ich glaube, es ist so, dass die Messung des Impulses eines Teilchens mit beliebiger Genauigkeit beliebig lange Zeit erfordert.
"Vielleicht gibt es zwei verschiedene Luders-Postulate .." Wie ich es sehe, tut das eine Postulat beides - es verallgemeinert den Begriff des Wellenfunktionskollaps auf a. Zusammenbruch gemischter Staaten, b. kollabieren auf einen beliebigen Unterraum, nicht nur auf einen Eigenzustand.
@BruceGreetham Ich meine, dass in den Quellen, die ich gefunden (und zitiert) habe, nichts darüber steht, dass die Wellenfunktion nach der Messung in der Form vorliegt χ ich ψ , wo χ ich ist die Indikatorfunktion des Intervalls a ± δ , wo a ist das Ergebnis und δ der Versuchsfehler.
Ja, das habe ich verstanden - was ich sagen will, ist, dass dies ein Sonderfall der Verwendung von Projektoren ist (das Projektionspostulat). Für reine Zustände können Sie den Zustand projizieren; Für gemischte Zustände verwenden Sie denselben Projektor, um die Dichtematrix zu projizieren ρ − > P ρ P . Ich kann versuchen, es zu verdeutlichen - aber vielleicht suchen Sie etwas mathematisch Strengeres, als ich anbieten kann
Ich bin mir zu 90% sicher, dass es sich um ein Duplikat handelt, aber ich kann das Original nicht finden.
Der Standpunkt eines Experimentators: Die ideale Messung ist nicht einmal theoretisch messbar, da JEDE Messung irgendeine Art von Potenzial beinhaltet. Potentiale erzeugen diskrete Eigenwerte. Um das durch die ebene Welle repräsentierte Teilchen zu sehen, sollte es interagieren, und Interaktion impliziert ein Potential, das Eigenfunktionen hat, die für das untersuchte Problem geeignet sind.
@DanielSank Nachdem ich diese gepostet habe, habe ich zwei Fragen gefunden, die sehr ähnlich sind. Ich habe Links zu diesen Fragen im Update-Bereich hinzugefügt.

Antworten (3)

Das Ding von allem ist folgendes:

Es gibt zwei Arten von Eigenfunktionen hermitescher Operatoren. Die einen erlauben diskrete Spektren (Eigenwerte sind voneinander getrennt) und die anderen kontinuierliche Spektren (Eigenwerte füllen einen ganzen Bereich aus). Wenn die Spektren kontinuierlich sind, stellen sie KEINE möglichen Wellenfunktionen dar (nur eine lineare Kombination davon ... ja, eine Art Gaußsches Wellenpaket kann normalisiert werden). Im Fall von Momentum-Operatoren

ℏ ich ∂ f p ( x ) ∂ x = p f p ( x )
.... f p ( x ) ist eine Impuls-Eigenfunktion .... das Lösen der obigen ergibt
f p ( x ) = EIN e ich p x ℏ
was nicht quadratisch integrierbar ist.

Aber da der Impuls eine Observable ist, nehmen wir nur reelle Werte von p und verwenden die Dirac-Orthonormalität von

∫ − ∞ ∞ f p ' ∗ ( x ) f p ( p ) d x = | EIN 2 | ∫ − ∞ ∞ e ( p ' − p ) x ℏ d x = | EIN 2 | 2 π ℏ δ ( p − p ' )
, und dann pflücken EIN = 1 2 π ℏ , wir haben
⟨ f p ' | f p ⟩ = δ ( p − p ' )
......

Dies bedeutet nun, dass die Eigenfunktionen des Impulses sinusförmig sind (dies ist selbst nicht realisierbar, da sich jede WAHRE oder PERFEKTE Sinuswelle ausdehnen muss − ∞ zu ∞ )

Aber so etwas wie ein Teilchen mit bestimmtem Impuls gibt es nicht , mit freundlicher Genehmigung der Heisenberg-Unschärferelation ... impliziert auch, dass die Messung eine Wellenfunktion nicht zu einem Eigenzustand mit einem perfekt definierten Impuls kollabieren kann

Aus diesem Grund machen wir ein normalisierbares Wellenpaket mit einem engen Impulsbereich ... um das Ganze physikalisch realisierbar zu machen. Keine der Eigenfunktionen von p ^ leben im Hilbert-Raum, aber diejenigen mit echten Eigenwerten (Wellenpaketen) und die dirac-normalisierbar sind. Sie (Eigenfunktionen von p ^ ) stellen keine möglichen physikalischen Zustände dar, sind aber sehr nützlich bei Problemen wie der Streuung von einem potenziellen Hügel oder einer Barriere.

Referenz:- Griffiths, Einführung in die Quantenmechanik

BEARBEITEN

Bitte stimmen Sie meiner Antwort nicht zu, da sie die von OP geäußerten Bedenken nicht vollständig berücksichtigt (siehe Kommentarbereich unter dieser Antwort), dh eine formelle Behandlung des Zusammenbruchs von "Wellenpaketen" (nicht Wellenfunktionen) ... i Es tut mir sehr leid, wenn es falsch ist, sich auf eine solche Aussage zu berufen. Bestenfalls ist meine Antwort teilweise vollständig.

Ja, ich habe Griffiths Buch gelesen. Ihre Antwort lautet also im Grunde, dass das zitierte Postulat nicht auf den Impulsoperator zutrifft und dass wir, wenn wir den Impuls im wirklichen Leben messen, ein Wellenpaket mit einem engen Bereich von Impulsen erhalten. Diese Erklärung könnte stimmen, ist aber nicht vollständig: Wie genau passiert der Kollaps zu einem solchen Wellenpaket? Wie können wir es formell behandeln? Ist es nicht auch möglich, dass das Problem zunächst in unserer Definition des Impulsoperators liegt?
Eigentlich glaube ich nicht, dass seine Anwendung ausschließt p ^ ; Wenn es Sie stört, führen Sie einfach eine Fourier-Transformation durch, gehen Sie in den Impulsraum, Sie werden im Grunde das gleiche Problem haben. mit Positionsoperator gegeben durch ich ℏ ∂ ∂ x und Schwung als δ ( p − p ' ) Die Ausbreitung der Wellenfunktion nach dem Kollaps ergibt sich natürlich aus der Natur der Operatoren in der Quantenmechanik und wenn wir messen x ^ Auf Positionsbasis behaupten wir nicht, dass es sich um eine Position handelt x ' aus dem Eigenzustand δ ( x − x ' ) mit willkürlicher Genauigkeit; es liegt innerhalb der Grenze der Heisenberg-Unsicherheit.
Jetzt könnte man natürlich weitermachen und fragen (zumindest würde ich), was passiert im Fall von Energie-Eigenzuständen? Da sie in den meisten Fällen normalisierbar sind (keine freien Teilchen oder dergleichen), haben sie eine Streuung in der gemessenen Energie nach dem Zusammenbruch der Wellenfunktion oder sollten wir sie spezifizieren, indem wir auch die ZEIT erwähnen, die zum Messen dieser Energie benötigt wurde, und dadurch eine Schätzung vornehmen? die Ausbreitung der Energie? Dies ist der Umfang meines Wissens, tut mir leid. Aber ich freue mich auf verfeinerte und bessere Antworten auf Ihre Frage sowie auf die in diesem Kommentar!
Ich habe fälschlicherweise gesagt, dass der Ortsoperator im Impulsraum ist ich ℏ ∂ ∂ x .....lesen Sie das als ich ℏ ∂ ∂ p
"Aber so etwas wie ein Teilchen mit bestimmtem Impuls gibt es nicht, mit freundlicher Genehmigung des Heisenberg-Unschärfeprinzips" Heisenbergs Prinzip der Unsicherheit besagt nur, dass es so etwas wie ein Teilchen mit sowohl einer bestimmten Position als auch einem bestimmten Impuls nicht gibt, es sagt nicht, dass weder Position noch Impuls kann bestimmt sein.
Tatsächlich heißt es, dass sowohl der Ort als auch der Impuls nicht mit beliebiger Genauigkeit angegeben werden können; aber für die Frage, die OP gestellt hat, ist die Art und Weise, wie ich das Prinzip interpretiert habe, nicht fehlerhaft; Nur, wenn ich den Impuls des Teilchens mit beliebiger Genauigkeit messe, habe ich KEINE Informationen über die Position des Teilchens, dessen Impuls ich gerade gemessen habe, daher ist es etwas schwierig zu verstehen, wovon ich gerade den Impuls gemessen habe, da das Teilchen verschwindet im nächsten Moment (oder auch nicht) und ich kann den Ort des Teilchens nicht mit vernünftiger Genauigkeit bestimmen (das Finden des Impulses hätte das klären sollen).
Es bedeutet also absolut nichts zu sagen, dass die Position des Teilchens irgendeine ist x oder der Impuls des Teilchens ist etwas p ...... da das Teilchen aufgrund der Unsicherheitsgrenzen überall sein kann ... was es nicht sein sollte, da die Messung der perfekten Position oder des perfekten Impulses bedeutet, dass wir in gewissem Sinne genau wissen, wo sich das Teilchen befindet oder in Zukunft befinden sollte.
Diese Antwort gibt die Mathematik richtig wieder, aber ich habe das Gefühl, dass sie die einfache physikalische Tatsache, dass man die nicht messen kann, völlig ignoriert p ^ einfach deshalb, weil das ein unendlich großes Labor erfordern würde.

Diese Antwort kommt extrem spät, aber ich denke, es lohnt sich, eine physikalische Antwort herauszugeben, selbst wenn Sie eine mathematische angefordert haben.

Betrachten Sie zunächst eine Positionsmessung. Wenn Sie eine ideale Positionsmessung durchführen, würde die Wellenfunktion in einen Positionseigenzustand kollabieren, der nicht normalisierbar und daher kein gültiger physikalischer Zustand ist. Die Auflösung besteht darin, dass es eigentlich keine idealen Positionsmessungen gibt, da reale Messungen eine endliche Lösung haben.

Um dies grob zu erklären, nehmen Sie an, dass Ihre Messung nur Werte zurückgeben kann, die in einigen Einheiten ganzzahlig sind. Dann messen Sie effektiv den Operator

x ^ f = ⌊ x ^ ⌋
wobei die Bodenfunktion eines Operators elementweise definiert ist: if x ^ | x ⟩ = x | x ⟩ , dann
x ^ f | x ⟩ = ⌊ x ⌋ | x ⟩ .
Als Ergebnis alle Staaten | x ' ⟩ zum x ' ∈ [ n , n + 1 ) sind entartete Eigenvektoren von x ^ f . Alle Positionen in diesem Bereich entsprechen demselben Messergebnis n .

Im Falle der Entartung wird das Kollapspostulat leicht verallgemeinert. Der Hilbert-Raum wird nun in orthogonale Unterräume unterteilt, einen für jeden unterschiedlichen Eigenwert des gemessenen Operators. Bei der Messung dieses Operators kollabiert der Zustandsvektor zu seiner Projektion in einen dieser Unterräume, mit einer Wahrscheinlichkeit, die proportional zum Quadrat seiner Projektion ist. (Dies reduziert sich auf das Postulat, das Dirac angibt, wenn alle Unterräume eindimensional sind, dh keine Entartung.)

Also, wenn Sie einen Zustand mit Wellenfunktion haben ψ ( x ) und messen x ^ f , Sie reduzieren es auf

ψ ' ( x ) = ψ ( x ) ⋅ { 1 n ≤ x < n + 1 0 Andernfalls
wenn Ihr Messergebnis ist n . Dieser Zustand ist vollkommen normalisierbar.

Die exakt gleiche Logik gilt für p ^ , wobei die obige Logik eher im Fourier-Raum als im realen Raum auftritt, und es führt zu derselben Schlussfolgerung: Sie erhalten einen endgültigen, normalisierbaren Zustand mit endlicher Breite im Fourier-Raum, der einem Wellenpaket im realen Raum entspricht.

Es funktioniert also alles ... aber ist es "rigoros"?! Nun, der Sinn der Quantenmechanik besteht darin, physikalische Ergebnisse vorherzusagen. Der Zweck der Formulierung in Form von Postulaten besteht lediglich darin, uns eine konkrete Grundlage für die Berechnung von Ergebnissen zu geben, mit dem letztendlichen Ziel, sie an Experimente anzupassen. Es ist allgemein bekannt, dass, wenn Sie Diracs angegebene Postulate für bare Münze nehmen und sie verwenden, um unphysikalische Größen zu berechnen, Sie alle Arten von mathematischen Widersprüchen erhalten können – seine Postulate sind selbst nach physikalischen Maßstäben schlampig. Wir unterrichten sie weiter, weil sie für jedes Experiment funktionieren, das wir uns vorstellen können.

Wenn Sie "rigoros" sein wollten, würden Sie es tun, indem Sie Stapel von zusätzlichen Postulaten hinzufügen, die darauf hinauslaufen, zu sagen: "Sie dürfen nicht verwenden x ^ im Kollaps-Postulat, aber solche Sachen wie x ^ f ist in Ordnung". Aber den Experimentalphysikern wird das überhaupt egal sein, weil sie immer gewusst haben, dass es Grenzen gibt, was sie messen können, ob sie nun ausgefallene Postulate haben oder nicht.

Hier ist meines Erachtens die Auflösung des Paradoxons zunächst in Erinnerung zu rufen, das dem von Ihnen oben gegebenen Zitat entspricht H e r m ich t ich a n Betreiber. Die wichtigste Erkenntnis ist die folgende:

Der Impulsoperator ist kein hermitescher Operator auf dem Funktionenraum, in dem die ebenen Wellen Mitglieder sind, und kann als Eigenfunktionen des Impulsoperators betrachtet werden. Auf diesem erweiterten Gebiet entspricht der Impulsoperator keiner Messung.

Damit die Impulsoperatoren hermitesch sind, möchten wir das zeigen ∫ ϕ ∗ P ψ = ∫ P ∗ ϕ ∗ ψ . Überlegen Sie, wie wir beweisen, dass der Impulsoperator hermitesch ist, wir führen die folgende Berechnung durch: ∫ ϕ ∗ ( − ich ℏ d d x ψ ) d x = − ich ℏ ( ϕ ∗ ψ | − ∞ ∞ − ∫ d d x ϕ ∗ ψ d x ) . Beachten Sie, dass für den ersten Term auf der rechten Seite die Funktion bei verschwinden muss ± ∞ . In diesem Fall ist der Impulsoperator gleich seinem hermiteschen Adjunkten und daher hermitesch. Dies schließt die ebenen Wellen aus, da sie bei nicht verschwinden ± ∞ . Der Impulsoperator ist also nicht hermitesch auf dem Raum der Funktionen, in denen ebene Wellen Mitglieder sind. Daher entspricht der Impulsoperator keiner physikalischen Messung in diesem Funktionenraum.

Ich denke, die Auflösung hat nichts damit zu tun, ob die Messung ideal ist oder nicht, ob der Impulsoperator schlecht definiert ist oder nicht. Der Impulsoperator entspricht keiner Messung, ob ideal oder nicht, wenn er auf einen erweiterten Bereich wirkt, der ebene Wellen enthält, da er auf diesem erweiterten Bereich nicht hermitesch ist.

Aber gerade weil ebene Wellen nicht darin enthalten sind L 2 dass wir sagen können, dass der Impuls ein hermitescher Operator ist: in Ihrer Berechnung auch nicht ψ Noch ϕ kann eine ebene Welle sein, weil sie darin nicht enthalten sind L 2 .
@valerio92 Der Punkt ist, dass wir entscheidend davon abhingen, in welcher Funktion wir es zu tun hatten L 2 um zu schließen, dass der Impulsoperator hermitesch war. Wirkt der Impulsoperator auf ebene Wellen oder den Raum, der ebene Wellen enthält, ist er nicht hermitesch und kann daher keiner Messung entsprechen.
@valerio92 Auf der Domäne von L 2 Der Impulsoperator ist hermitesch, aber nicht im erweiterten Bereich, der ebene Wellen enthält. Das ist mein Punkt.
Ja, aber wer hat gesagt, dass es in einem so ausgedehnten Bereich hermitesch sein muss? Formal gesehen wird es einfach ein Operator ohne Eigenfunktion sein, denn die Lösung des Eigenwertproblems ist eine ebene Welle, die in nicht enthalten ist L 2 . [PS eigentlich die richtige Domain von p ist { ψ ∈ L 2 ( R ) : ψ ' ∈ L 2 ( R ) } , aber das ist nur ein Detail in der aktuellen Diskussion]
@ valerio92 es muss auf der erweiterten Domäne hermitesch sein, weil Sie über Messungen sprechen möchten. Wenn Sie über Messungen sprechen wollen, sagt die Quantenmechanik, dass Sie einen hermiteschen Operator haben müssen, und dann folgt Diracs Aussage. Aber auf der erweiterten Domäne haben Sie keinen hermiteschen Operator, alles, was Sie haben, ist ein Operator, der ebene Wellen als Eigenfunktionen hat. Das ist nicht gut genug
Die Tatsache, dass es sich um einen Operator ohne Eigenfunktionen im interessierenden Bereich handelt, L 2 wirft keine Bedenken auf, da unbeschränkte Operatoren in unendlich dimensionalen Hilbert-Räumen im Allgemeinen keine Eigenfunktionen haben müssen.
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