Parametrisierung der Bogenlänge von Geodätisch in der hyperbolischen Ebene

Hier ist eine verwandte Frage. Also haben wir$H=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: y>0\}$und definieren Sie die Metrik$g=\frac{1}{y^2}(dx^2+dy^2)$. Ich kenne den Kreis$x^2+y^2=1, y>0$ist das Bild eines geodätischen In$H$. Eine offensichtliche Parametrisierung dieser Kurve ist$\gamma(t)=(\cos t,\sin t), t\in (0,\pi)$. Berechnen Sie also die Länge dieser Kurve in$H$, wir bekommen

$$L(\gamma)=\int_0^{\pi} (g_{\gamma(t)}(\dot{\gamma},\dot{\gamma}))^{1/2}=\int_0^{\pi} \frac{(-\sin t)^2+(\cos t)^2}{y\circ\gamma(t)}dt=\int_0^{\pi} \csc tdt$$ aber dieses letztere Integral konvergiert nicht.

Dies kam auf, als ich versuchte, die Parametrisierung der Bogenlänge zu berechnen$s(t)=\int_0^t(g_{\gamma(\tau)}(\dot{\gamma},\dot{\gamma}))^{1/2}$finden$t(s)$, fand das aber$s(t)$enthalten einen abweichenden Begriff.

Was mache ich hier falsch?

Bearbeiten: Ich wurde darauf hingewiesen, dass diese Kurve eine unendliche Länge hat, was die Berechnung anzeigt. Aber meine Frage ist folgende:

Der Bogenlängenparameter ist hier

$$s(t)=\int_0^t(g_{\gamma(\tau)}(\dot{\gamma},\dot{\gamma}))^{1/2}=\int_0^t \csc\tau d\tau$$ was auch nicht konvergiert. Ich denke, die Idee ist, dass die Länge von jedem Punkt auf der Geodäte in Richtung der $x$-Achse ist unendlich, da das ins Unendliche geht, was meiner Meinung nach Sinn macht $y\to 0$.

Also meine Frage ist dann, wie wir rechnen$s(t)$und seine Umkehrung? Wählen wir einfach irgendwelche aus$t_0$für die untere Grenze des Integrals?