Partikel, die auf eine Stufenpotentialbarriere treffen

Question

Partikel, die auf eine Stufenpotentialbarriere treffen

Joebevo

Mein Lehrbuch der Quantenmechanik besagt, dass ein Teilchen, wenn es (im klassischen Fall) auf eine Potentialstufenbarriere endlicher Höhe trifft, wenn es genügend Energie hat, um die Barriere zu überwinden, mit reduzierter kinetischer Energie weitergeht.

Ich finde das schwer zu verstehen, da Kraft durch gegeben wird

F = - \frac{D v (X)}{D X}

$F=-\frac{dV(x)}{dx}$

Für eine Stufenbarriere sollte dies eine unendliche Kraft ergeben, die (in der entgegengesetzten Richtung) auf das Partikel wirkt, wenn es mit der Barriere in Kontakt kommt.

Das einzige andere, was mir einfällt, ist, die Kraft auf das Teilchen durch eine Dirac-Delta-Funktion zu modellieren, sodass wir effektiv sehen, dass es einen Impuls in die entgegengesetzte Richtung erhält, was seine kinetische Energie verringern könnte. Ist diese Überlegung richtig?

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Partikel, die auf eine Stufenpotentialbarriere treffen

JoshPhysik · Answer 1

Sie können dies tatsächlich mit tun $\delta$ funktioniert auch, wenn Sie möchten (vorausgesetzt, Sie sind vorsichtig). Lassen $V(x) = V_0\theta(x-x_0)$ , Dann

F (X) = - v^{'} (X) = - v_{0} δ (X - X_{0})

$F(x) = -V'(x) = -V_0\delta(x-x_0)$ Nehmen wir der Einfachheit halber die zu lokalisierende Potentialbarriere

x_{0} = 0

$x_0 = 0$ so dass nach Newtons zweitem Gesetz die Bewegungsgleichung wird

- v_{0} δ (X (T)) = M \ddot{X} (T)

$-V_0\delta(x(t)) = m \ddot x(t)$ Lösen wir diese Gleichung unter Berücksichtigung der Ausgangsdaten

X (0) = - X_{A}, \dot{X} (0) = v_{A}, X_{A} > 0, v_{A} > 0

$x(0) = -x_a, \qquad \dot x(0) = v_a, \qquad x_a>0, \qquad v_a>0$ Mit anderen Worten, das Teilchen nähert sich der Potentialbarriere mit Geschwindigkeit von links

v_{a}

$v_a$ . Integrieren wir beide Seiten bzgl. Zeit aus

t = 0

$t=0$ für manchen

t > t_{*} = x_{a} / v_{a}

$t>t_*=x_a/v_a$ (

t_{*}

$t_*$ ist einfach die Zeit, zu der es den Ursprung erreicht), dann haben wir

v (T) = v_{A} - \frac{v_{0}}{M} \int_{0}^{T} δ (X (T^{'})) D T^{'}

$v(t) = v_a - \frac{V_0}{m}\int_0^t \delta(x(t')) dt'$ Jetzt kommt der knifflige Teil, um das Integral auszuführen, verwenden wir die Verteilungsidentität

δ (F (X)) = \sum_{{X_{ich} : F (X_{ich}) = 0}} \frac{δ (X - X_{ich})}{| F^{'} (X_{ich}) |}

$\delta(f(x)) = \sum_{\{x_i:f(x_i) = 0\}} \frac{\delta(x-x_i)}{|f'(x_i)|}$ und wir erhalten

δ (X (T)) = \frac{δ (T - T_{*})}{v (T_{*})}

$\delta(x(t)) = \frac{\delta(t-t_*)}{v(t_*)}$ also bekommen wir

v (T) = v_{A} - \frac{v_{0}}{M} \int_{0}^{T} \frac{δ (T^{'} - T_{*})}{v (T_{*})} D T^{'} = v_{A} - \frac{v_{0}}{M v (T_{*})}

$v(t) = v_a - \frac{V_0}{m}\int_0^t\frac{\delta(t'-t_*)}{v(t_*)} dt' = v_a - \frac{V_0}{m v(t_*)}$ Das Problem ist, wofür wir uns entscheiden sollen

v (t_{*})

$v(t_*)$ , die Geschwindigkeit, wenn das Teilchen auf die Barriere trifft? Es stellt sich heraus, dass wir es so auswählen müssen, dass es dem Durchschnitt der Geschwindigkeiten vor und nach dem Überqueren der Barriere entspricht, um die Energieeinsparung zu erfüllen (und daher mit dem in Michael Browns Antwort beschriebenen Glättungsverfahren konsistent zu sein).

v (T_{*}) = \frac{1}{2} (v (T) + v_{A})

$v(t_*) = \frac{1}{2}(v(t) + v_a)$ und das gibt

v (T) = v_{A} - \frac{2 v_{0}}{M (v (T) + v_{A})}

$v(t) = v_a - \frac{2 V_0}{m(v(t) + v_a)}$ Das ist dasselbe wie die Energieerhaltungsgleichung, die die Geschwindigkeit nach dem Auftreffen auf die Barriere bestimmt;

\frac{1}{2} M v (T)^{2} = \frac{1}{2} M v_{A}^{2} - v_{0} .

$\frac{1}{2} m v(t)^2 = \frac{1}{2} mv_a^2 - V_0.$

Lieber Josh, ich habe eine Anfrage. Daher bin ich mit Ihrer Argumentation bis zu dem Moment, in dem Sie das Integral auswerten und erhalten, völlig einverstanden $v(t)$ . Ich bin auch damit einverstanden, wie Sie die Energieeinsparung festgelegt haben, von der Sie erhalten haben $v(t_{*}$ . Mein Problem ist folgendes: Es stimmt, dass Energie immer gespart wird und so $\frac{1}{2} M v (T)^{2} = \frac{1}{2} M v_{A}^{2} - v_{0} .$ $\frac{1}{2} m v(t)^2 = \frac{1}{2} mv_a^2 - V_0.$ Allerdings sollte man die jeweilige körperliche Situation berücksichtigen. Zum Beispiel, wenn ein Ball aus einer bestimmten Höhe fällt $z=h$ vom Boden( $z=0$ ) in Ruhe, dann ist es wahr, dass seine Energie immer konstant und von gegeben ist $1/2mv^2 +mgz=E$
Diese Formel sollte jedoch mit Vorbehalt verwendet werden, sie ist ungültig für $z<0$ weil wir aus der physischen Situation, die wir haben, wissen, dass der Ball den Boden berührt und zurückprallt, und tatsächlich wird er niemals den Boden überqueren $z=0$ . Wenden wir die Formel für an $z<0$ Ohne dies zu berücksichtigen, gibt uns das zwar eine gewisse kinetische Energie für den Ball, aber das Ergebnis ist bedeutungslos. Aus dem gleichen Grund sollte der Ball in Ihrer Antwort eine unendliche Abstoßungskraft erfahren $x=0$ und sollte zurück in Richtung reflektiert werden $x=- \infty$ .
Verwenden der Gleichung $\frac{1}{2} m v(t)^2 = \frac{1}{2} mv_a^2 - V_0$ für $x>0$ (da Sie davon ausgehen, dass der Ball die Barriere überquert und eine Geschwindigkeit hat $v(t)$ ) ignoriert (implizit), dass der Ball reflektiert wird $x=0$ und wird überhaupt nicht in die positive x-Richtung reisen (genau wie das Beispiel, das ich oben im letzten Kommentar angegeben habe).
@OmarNagib Es stimmt nicht, dass der Ball in diesem Fall reflektiert wird, wenn der Anfangsimpuls groß genug ist. Die Delta-Funktion liefert eine „unendliche“ Kraft nur für eine „unendlich kleine“ Zeit, so dass der Gesamtimpuls am Ende endlich ist.
Rechts. Ich denke, Sie sollten diesen Kommentar in Ihre Antwort einfügen, da er eine große Verwirrung aufklärt, die OP (und Leute wie ich) hatten, nämlich, wie der Ball die unendliche Abstoßungskraft passiert hat.

Michael · Answer 2

Ja, die Ableitung einer Sprungfunktion ist ein Dirac-Delta. Sie können dies sehen, indem Sie die Delta-Funktion integrieren:

Θ (X) = \int_{- \infty}^{X} δ (X^{'}) D X^{'}

$\Theta(x)=\int_{-\infty}^x \delta(x') \mathrm{d}x'$ Wo

Θ (X) = {\begin{cases} 1 & X > 0 \\ 0 & X < 0 \end{cases}

$\Theta\left(x\right)=\begin{cases} 1 & x>0\\ 0 & x<0 \end{cases}$ (beachten Sie, dass

Θ (0)

$\Theta(0)$ wird durch diese Vorschrift nicht definiert. Wenn Sie eine symmetrische Darstellung der verwenden

δ

$\delta$ Funktion, die Sie erhalten

Θ (0) = \frac{1}{2}

$\Theta(0)=\frac{1}{2}$ , aber das ist jetzt nicht wichtig.)

Die physikalischere Art, darüber nachzudenken, besteht darin, das Potential zu einer Funktion zu glätten, die in einer endlichen Entfernung von Null bis zum Maximum reicht. Zum Beispiel:

v (X) = \frac{v_{0}}{2} [1 + Tanh (\frac{X}{ℓ})]

$V(x) = \frac{V_0}{2} \left[1 + \tanh\left(\frac{x}{\ell}\right)\right]$

das sieht so aus:

graphisch dargestellt als geglättetes Stufenpotential

In diesem Fall liegt die Breite der potentiellen Stufe in der Größenordnung $\ell$ . Die Kraft ist die Ableitung davon:

F = - \frac{v_{0}}{2 ℓ} {S e C H}^{2} (\frac{X}{ℓ})

$F = - \frac{V_0}{2\ell} \mathrm{sech}^2 \left( \frac{x}{\ell} \right)$

die überall endlich ist, aber in der Nähe sehr groß wird $x=0$ in der Grenze $\ell\rightarrow0$ .

Das macht das Problem der klassischen Mechanik schön und gut definiert. Sie können die Bewegungsgleichungen für ein klassisches Teilchen in dieses Potential integrieren und sehen, was es tut. Sie werden feststellen, dass, wenn seine kinetische Energie kleiner ist als $V_0$ es wird einen Wendepunkt haben und darauf zurück spiegeln $x=-\infty$ . Wenn andererseits seine Energie größer als die Barriere ist, fährt es mit einer durch die Energieerhaltung bestimmten Endgeschwindigkeit fort:

\frac{1}{2} M v_{F}^{2} = \frac{1}{2} M v_{ich}^{2} - v_{0}

$\frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} m v_i^2 - V_0$

Dies gilt auch im Grenzbereich $\ell\rightarrow 0$ . Die interessanten Unterschiede in der Quantentheorie sind Barrierendurchdringung und endliche Reflexionswahrscheinlichkeit auch oberhalb der Barriere.

Nur zum Spaß habe ich einige Stromlinien gezeichnet und einige einfache Zahlen dafür ausgewählt $m,V_0,\ell$ . Wenn Sie noch nicht genug klassische Mechanik gesehen haben, wird dies als Phasenebene bezeichnet. Die zwei Achsen sind die zwei Variablen $x$ Und $v=\dot{x}$ , und die Kurven zeigen, wie sie sich mit der Zeit ändern. Sie können sehen, dass Teilchen, die von links einfallen, reflektieren, wenn sie nicht genug Energie haben, aber mit abnehmender Geschwindigkeit nach rechts passieren, wenn sie die Barriere überschreiten. Alle von rechts einfallenden Teilchen passieren die Stufe (und gewinnen tatsächlich an Geschwindigkeit in negativer Richtung). Plots wie dieser sind eine großartige Möglichkeit, einen Einblick in klassische mechanische Systeme zu gewinnen.

Phasenebene für ein einzelnes Teilchen in einem glatten Stufenpotential

DarenW · Answer 3

Eine Möglichkeit, Kraft zu definieren, ist dp/dt – Änderungsrate des Impulses. Oder über ein endliches Zeitintervall $\Delta p = \int F dt$ F ist, wie Sie sagen, eine Dirac-Funktion, unendlich stark, aber vom Teilchen (wenn Sie es sich als klassisch vorstellen) für die Zeit Null erfahren. Null mal Unendlich – oder besser gesagt, die Grenze einer sehr kleinen Dauer mal einer sehr großen Kraft – ist eine endliche Zahl.

"Die Grenze einer sehr kleinen Dauer mal einer sehr großen Kraft - ist eine endliche Zahl." - Nicht unbedingt. Es hängt davon ab, wie Sie die Grenzen nehmen. Sie machen das deutlich $0\times\infty$ kann jedoch alles und potentiell endlich sein.

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Joebevo

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