Partikelerzeugung (mit stationärem Zielpartikel)

Betrachten Sie den folgenden Prozess:

$$e^{-}+e^{+}\rightarrow X+\bar{X}$$ in dem Fall, wo das Positron das ruhende Zielteilchen ist .

Wenn das ankommende Elektron Impuls hat$\mathbf{p}_{e}$, dann folgt das aus der Impulserhaltung

$$\mathbf{p}_{e}=\mathbf{p}_{1}+\mathbf{p}_{2}$$ Wo $\mathbf{p}_{1}$Und $\mathbf{p}_{2}$sind die Impulse der beiden Teilchen, die bei dieser Kollision entstehen.

Warum ist das so

$$\lvert\mathbf{p}_{1}+\mathbf{p}_{2}\rvert =2p_{_{X}}\cos\theta\;?$$ Naiverweise hätte ich das gedacht $$\lvert\mathbf{p}_{1}+\mathbf{p}_{2}\rvert =\sqrt{\lvert\mathbf{p}_{1}\rvert^{2}+\lvert\mathbf{p}_{2}\rvert^{2}+2\lvert\mathbf{p}_{1}\rvert\lvert\mathbf{p}_{2}\rvert\cos\theta}$$

Ist es richtig zu sagen, dass der Schwellenfall das Wann ist?$\theta =0$? Warum breiten sich die emittierten Teilchen bei einer Energie größer als die Schwellenenergie unter Winkeln relativ zur Bewegungsrichtung des einfallenden Teilchens aus, während sie sich im Schwellenfall in derselben Richtung ausbreiten?

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Ich glaube, ich sehe teilweise, was ich verpasse. Wenn die Winkel, unter denen die beiden erzeugten Teilchen emittiert werden, relativ zur Bewegungsrichtung des Positrons gleich sind, dann sind ihre 3-Impulse gegeben durch

$$\mathbf{p}_{1}=\left(p\cos\theta ,p\sin\theta\right)\\ \mathbf{p}_{2}=\left(p'\cos\theta ,-p'\sin\theta\right)$$ Wo $\theta$ist der Winkel relativ zur Bewegungsrichtung des Positrons.

Als solche sind Impulskomponenten entlang der Richtung definiert durch die Bewegungsrichtung des ursprünglichen Positrons$p_{1}=p\cos\theta$Und$p_{2}=p'\cos\theta$und daher erfordert dies die Erhaltung des (linearen) Impulses

$$p_{e}=p\cos\theta +p'\cos\theta$$ Darüber hinaus erfordert dies die Erhaltung des linearen Impulses entlang der Richtung senkrecht zur Bewegung des Positrons $$p\sin\theta -p'\sin\theta =0\quad\Rightarrow\quad p=p'$$ und so $$p_{e}=2p\cos\theta$$

Ich bin mir immer noch nicht sicher, warum die Teilchen in Winkeln relativ zur Bewegungsrichtung des Positrons erzeugt werden? Liegt das nur daran, dass sie im Allgemeinen nicht einfach so produziert werden, dass sie sich in derselben Richtung wie das ursprüngliche Teilchen ausbreiten?!