Partikelimpuls bei Kollision, ausgedrückt in der Mandelstam-Variablen

Betrachten Sie den s-Kanal-Prozess, ich verwende die metrische Konvektion$+---$stattdessen sind die Einschränkungen: Erhaltung des Viererimpulses:$p_{1}^{\mu}+p_{2}^{\mu}=p^{\mu}$und auf Massenschalenzustand$p_{i}^{2}=m_{i}^{2}$.

Die Berechnung kann mit dem Schwerpunktrahmen vereinfacht werden, in diesem Rahmen sind 3 Impulse kollidierender Teilchen gleich groß und entgegengesetzt gerichtet:

$$\begin{equation} \vec{p}_{1}=-\vec{p}_{2} \end{equation}$$ dann gehorchten Teilchen 4 Impuls: $$\begin{align} p_{1}=(E_1,\vec{p}_1)\;\;\;\; p_{2}=(E_2,-\vec{p}_{1})\;\;\;\; p=(E_1+E_2,0) \end{align}$$ Definieren Sie die Lorentz-invariante Größe$s$als Quadrat des Viererimpulses der Summe kollidierender Teilchen: $$\begin{equation} s=(p_1+p_2)^{2} \end{equation}$$ Da die Summe der Energien und der Energie der Ruhemasse gemessen werden kann, ist es ratsam, den Impuls in Bezug auf diese Parameter auszudrücken, nehmen Sie nun das Skalarprodukt der Erhaltung von vier Impulsen mit Teilchen$1$Schwung: $$\begin{equation} p\cdot p_1=p_1 \cdot p_1+p_1 \cdot p_2 \rightarrow \sqrt{s}E_{1}=m_{1}^{2}+p_{1}\cdot p_{2} \end{equation}$$ Der letzte Term kann durch Quadrieren der Erhaltung von vier Impulsen eliminiert werden: $$\begin{equation} p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}=s \rightarrow p_1 \cdot p_2=\frac{s-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})}{2} \end{equation}$$ Ersetzen Sie diesen Ausdruck, um zu erhalten$E_1$bezüglich$s,m_1,m_2$: $$\begin{equation} E_1=\frac{1}{2\sqrt{s}}(s+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}) \end{equation}$$ Daher kann die Größe des 3-Impulses von Teilchen 1 gefunden werden: $$\begin{equation} |\vec{p}_1|=\sqrt{E_{1}^{2}-m_{1}^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4s}(s+m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}-m_{1}^{2}} \end{equation}$$ Ein paar Schritte der Algebra: $$\begin{equation} |\vec{p}_{1}|=\sqrt{\frac{1}{4s}[s^{2}+2(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})s+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}}{-4sm_{1}^{2}]} \end{equation}$$ Schließlich erhalte ich die Größe: $$\begin{equation} |\vec{p}_{1}|=\frac{1}{2\sqrt{s}}\sqrt{s^{2}-2(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})s+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^2} \end{equation}$$ Ich kämpfe mit der Konvertierung in einen Laborrahmen, um den Impuls von Partikel Nr. 1 in diesem Rahmen zu erhalten, in dem Partikel Nr. 2 anfänglich ruht. Ich bin mir nicht sicher, wie die inverse Transformation durchgeführt werden kann.