Periodizitätstrick für Schwarze Kerr-Löcher

Ich bin etwas verwirrt über den euklidischen Abschnitt eines schwarzen Kerr-Lochs. Auf Seite 5 des folgenden Artikels https://arxiv.org/abs/hep-th/9908022 heißt es, dass wir setzen müssen, um den euklidischen Abschnitt zu erhalten$t \to i \tau$Und$a \to i a$. (Sie betrachten allgemeine Kerr-Newman-AdS-Schwarze Löcher, aber ich interessiere mich einfach für Kerr als asymptotisch flach.) Das ist sinnvoll, weil wir die behalten wollen$dt \otimes d\phi$Komponenten der euklidischen Metrik reell. Was mich verwirrt, ist, dass wir, wenn wir die Analyse der konischen Singularitäten durchführen, wie sie erwähnt haben, die folgende Periodizität für erhalten$\tau$Und$\phi$

$$\begin{equation} \tau \sim \tau +\beta \end{equation}$$ $$\begin{equation} \phi\ \sim \phi+i\beta\Omega_H \end{equation}$$ mit$\beta$die inverse Temperatur und$\Omega_H$die Winkelgeschwindigkeit des Ereignishorizonts, nämlich $$\begin{equation} \Omega_H=\frac{a}{r_{+}^2+a^2} \end{equation}$$ Wo$r_{+}$ist der Ereignishorizont und$a$ist der Rotationsparameter des Schwarzen Lochs. Was mir seltsam ist, ist, dass, wenn wir nehmen$a \to 0$in Boyer-Lindquist-Koordinaten bekommen wir das $$\begin{equation} \phi \sim \phi \end{equation}$$ Weil$\Omega_H$verschwindet. Dies wird zu einer trivialen Identifizierung und sagt uns nichts über die Periodizität des aus$\phi$Koordinate. Allerdings wissen wir auch, dass wenn wir die nehmen$a \to 0$Grenze erhalten wir das Schwarzschild-Schwarze Loch in Schwarzschild-Koordinaten. Bei Schwarzschild-Euklidisch sollten wir die nehmen$\phi$koordinieren, um Periode zu haben $$\begin{equation} \phi \sim \phi+2\pi \end{equation}$$ und obwohl der Boyer-Lindquist$\phi$ist anders als die$\phi$in Schwarzschild stimmen sie in der Grenze überein, die ich in Betracht ziehe$a \to 0$. Was bedeutet das? Bedeutet dies, dass Kerr zwar im Limit nach Schwarzschild geht$a \to 0$als lorentzsche Geometrie sind ihre euklidischen Abschnitte nicht irgendwie kontinuierlich verbunden?

Edit1: Ich habe auch die Vorstellung, dass in Lorentzian Kerr, die$\phi$Koordinate hat Periodizität$2\pi$. Wenn wir zu Euklidisch gehen, scheinen wir diese andere Periodizität zu bekommen: sollte aber nicht die Periodizität von sein$2\pi$auch erhalten bleiben? Zumindest passiert das bei Schwarzschild. Wir hätten also beides

$$\begin{equation} \phi\ \sim \phi+i\beta\Omega_H \end{equation}$$ $$\begin{equation} \phi\ \sim \phi + 2\pi \end{equation}$$ Es verwirrt mich auch, dass diese Manipulationen normalerweise auf der Grundlage der Koordinatensysteme durchgeführt werden und es daher schwieriger ist, sich eine Vorstellung davon zu machen, was es bedeutet, koordinateninvariant zu „euklidieren“. Wenn jemand eine koordinateninvariante Art hat, über diese analytische Fortsetzung zu sprechen, würde ich sie gerne hören.

Edit2: Wenn wir sehen, was wirklich der Ausdruck in der Identifizierung ist$\phi$, wir bekommen

$$\begin{equation} i\beta \Omega_H=i4\pi \frac{r_{+}a}{r_{+}^2\left(1-\frac{a^2}{r_{+}^2}\right)} \end{equation}$$ Indem man die analytische Fortsetzung macht$a \to ia$, wir haben $$\begin{equation} i\beta \Omega_H=-4\pi \frac{r_{+}a}{r_{+}^2\left(1+\frac{a^2}{r_{+}^2}\right)} \end{equation}$$ wir sehen, dass es dann immer weniger ist$2\pi$Weil $$\begin{equation} r_{+}=a+\sqrt{2}a \end{equation}$$ definiert Extremalität unter der Annahme, dass wir setzen$a \to ia$. So scheint es das zu machen$\phi$Richtung kleiner im Allgemeinen. Aber wenn ich versuche, die Aktion auf der Shell zu berechnen $$\begin{equation} I=\int_{\partial \mathcal{M}}K-K_0 \end{equation}$$ Ich muss aus integrieren$0$Zu$2\pi$entlang$\phi$um das richtige Ergebnis zu erhalten, das in https://doi.org/10.1103/PhysRevD.15.2752 erwähnt wird , da wir die Grenze zur Unendlichkeit nur in der führenden Reihenfolge von senden$1/r$Angelegenheiten, die die gleichen sind wie bei Schwarzschild. Ich bin also verwirrt, welche Art von Geometrie wir zusammen haben$\phi$.